Pré-calcul Exemples

$1 + \frac{2}{x + 1} \leq \frac{2}{x}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2}{x}$ des deux côtés de l’inégalité.

$1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Étape 2

Simplifiez $1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x}$ .

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Étape 2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 1 + 2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Étape 2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Étape 2.4

Pour écrire $\frac{x + 3}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \leq 0$

Étape 2.5

Pour écrire $- \frac{2}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Étape 2.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{x + 3}{x + 1}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Étape 2.6.2

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Étape 2.6.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) x$ .

$\frac{(x + 3) x}{x (x + 1)} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 3) x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Étape 2.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Étape 2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2 \cdot 1}{x (x + 1)} \leq 0$

Étape 2.8.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Étape 2.8.5

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Étape 2.8.6

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.8.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 2.8.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)} \leq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 0, 1, - 2, - 1$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x (x + 1) = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 9.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 9.2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 9.2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 9.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{2}{(- 4) + 1} \leq \frac{2}{- 4}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $0.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $- 0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1.5$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{2}{(- 1.5) + 1} \leq \frac{2}{- 1.5}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 3$ est inférieur au côté droit $- 1.\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{2}{(- 0.5) + 1} \leq \frac{2}{- 0.5}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $5$ est supérieur au côté droit $- 4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{2}{(0.5) + 1} \leq \frac{2}{0.5}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $2.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.5.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{2}{4}$

Étape 11.5.3

Le côté gauche $1.4$ est supérieur au côté droit $0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 \leq x < - 1$ ou $0 < x \leq 1$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[- 2, - 1) \cup (0, 1]$

Étape 14