Pré-calcul Exemples

$x^{3} + 3 x^{2} - x - 3$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - (1) - 3$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 3 {(1)}^{2} - (1) - 3$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 3 \cdot 1 - (1) - 3$

Étape 4.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 + 3 - (1) - 3$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + 3 - 1 - 3$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $1$ et $3$ .

$4 - 1 - 3$

Étape 4.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$3 - 3$

Étape 4.2.3

Soustrayez $3$ de $3$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$
	$1$	$4$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$	$4$
	$1$	$4$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$	$4$
	$1$	$4$	$3$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$	$4$	$3$
	$1$	$4$	$3$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$	$4$	$3$
	$1$	$4$	$3$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + 4 x + 3$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} + 4 x + 3$

Étape 7

Factorisez $x^{2} + 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) + (x + 1) (x + 3)$

$(x - 1) (x + 1) (x + 3)$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{3} + 3 x^{2}) - x - 3 = 0$

Étape 8.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x + 3) - (x + 3) = 0$

Étape 8.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 8.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x + 3) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 8.4

Factorisez.

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Étape 8.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 8.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 10

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 11

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 11.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 12

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 3, - 1, 1$

Étape 14