Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Étape 4.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$1 + 2 + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Étape 4.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 2 + 1 - 8 \cdot - 1 - 12$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$1 + 2 + 1 + 8 - 12$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 + 1 + 8 - 12$

Étape 4.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$4 + 8 - 12$

Étape 4.2.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$12 - 12$

Étape 4.2.4

Soustrayez $12$ de $12$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$
	$1$	$- 3$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 3)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(1)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$	$4$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 8)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 3$	$4$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 12)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(12)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$	$12$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$	$12$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 3 x^{2} + (4) x - 12$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 x - 12$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) + x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3)$

$(x + 1) x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 3$ .

$(x + 1) (x - 3) (x^{2} + 4)$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Regroupez les termes.

$- 2 x^{3} - 8 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Étape 9.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3} - 8 x$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Étape 9.2.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 8 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 4 + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Étape 9.2.3

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (4)$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Étape 9.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 12 = 0$

Étape 9.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + u^{2} + u - 12 = 0$

Étape 9.5

Factorisez $u^{2} + u - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 9.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 2 x (x^{2} + 4) + (u - 3) (u + 4) = 0$

Étape 9.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Étape 9.7

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

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Étape 9.7.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $- 2 x (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Étape 9.7.2

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $(x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} - 3) = 0$

Étape 9.7.3

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x + x^{2} - 3) = 0$

Étape 9.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

Étape 9.9

Factorisez $- 2 u + u^{2} - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 9.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} + 4) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Étape 9.10

Factorisez.

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Étape 9.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 4) ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Étape 9.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 4) (x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 11

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 11.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 11.2.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 11.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 11.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 11.2.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 11.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 11.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 11.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 11.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 11.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 12

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 13

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 4) (x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 2 i, - 2 i, 3, - 1$

Étape 15