Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10$

Étape 1

Définissez $x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10$ égal à $0$ .

$x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + 10 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$- x^{3} + 5 x + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3} + 5 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 5 x + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $5 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 5 + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{2}) - x (- 5)$ .

$- x (x^{2} - 5) + x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} + 10 = 0$

Étape 2.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x (x^{2} - 5) + u^{2} - 7 u + 10 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $u^{2} - 7 u + 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 5, - 2$

Étape 2.1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 2) = 0$

Étape 2.1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x^{2} - 5$ à partir de $- x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2)$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $x^{2} - 5$ à partir de $- x (x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 5) (- x) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x^{2} - 5$ à partir de $(x^{2} - 5) (- x) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 5) (- x + x^{2} - 2) = 0$

Étape 2.1.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} - 5) (- u + u^{2} - 2) = 0$

Étape 2.1.9

Factorisez $- u + u^{2} - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 2.1.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} - 5) ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez.

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Étape 2.1.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} - 5) ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Étape 2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} - 5) (x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2} - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} - 5$ égal à $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 5$

Étape 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 5) (x - 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 2, - 1$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 2, - 1$

Forme décimale :

$x = 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots, 2, - 1$

Étape 4