Pré-calcul Exemples

$g (x) = \ln (x - x^{2})$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (x - x^{2})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - x^{2} > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x - x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $x - x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$x \cdot 1 + x (- x) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$x (1 - x) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (1 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) - {(- 2)}^{2} > 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $- 6$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$(0.5) - {(0.5)}^{2} > 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $0.25$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(4) - {(4)}^{2} > 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $- 12$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < 1$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, 1)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | 0 < x < 1}$

Étape 4