Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 9}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 9}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + x + 9 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.3

Soustrayez $36$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 35}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez $- 35$ comme $- 1 (35)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (35)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.3

Soustrayez $36$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 35}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4

Réécrivez $- 35$ comme $- 1 (35)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (35)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2}$

Étape 2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{35}}{2}$

Étape 2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{35}}{2}$

Étape 2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{35}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{35})}{2}$

Étape 2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{35})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{35})}{2}$

Étape 2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{35}}{2}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.3

Soustrayez $36$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 35}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $- 35$ comme $- 1 (35)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (35)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2}$

Étape 2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{35}}{2}$

Étape 2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{35}}{2}$

Étape 2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{35}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{35})}{2}$

Étape 2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{35})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{35})}{2}$

Étape 2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{35}}{2}$

Étape 2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{35}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{35}}{2}$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[\frac{56 - 2 \sqrt{679}}{35}, \frac{56 + 2 \sqrt{679}}{35}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | \frac{56 - 2 \sqrt{679}}{35} \leq y \leq \frac{56 + 2 \sqrt{679}}{35}}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Plage : $[\frac{56 - 2 \sqrt{679}}{35}, \frac{56 + 2 \sqrt{679}}{35}], {y | \frac{56 - 2 \sqrt{679}}{35} \leq y \leq \frac{56 + 2 \sqrt{679}}{35}}$

Étape 6