Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$ comme une équation.

$y = \frac{x - 3}{x + 2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y - 3}{y + 2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y - 3}{y + 2} = x$ .

$\frac{y - 3}{y + 2} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 2, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y + 2, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y + 2$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{y - 3}{y + 2} = x$ par $y + 2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y - 3}{y + 2} = x$ par $y + 2$ .

$\frac{y - 3}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 3}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y - 3 = x (y + 2)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 3 = x y + x \cdot 2$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y - 3 = x y + 2 x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$y - 3 - x y = 2 x$

Étape 3.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y - x y = 2 x + 3$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y - x y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 2 x + 3$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 2 x + 3$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 2 x + 3$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (1 - x) = 2 x + 3$ par $1 - x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (1 - x) = 2 x + 3$ par $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2 x}{1 - x} + \frac{3}{1 - x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2 x}{1 - x} + \frac{3}{1 - x}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 x}{1 - x} + \frac{3}{1 - x}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 x + 3}{1 - x}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 3}{1 - x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 3}{1 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{2 (\frac{x - 3}{x + 2}) + 3}{1 - (\frac{x - 3}{x + 2})}$

Étape 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x + 2$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{2 \frac{x - 3}{x + 2} + 3}{1 - \frac{x - 3}{x + 2}}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{x + 2}{x + 2} \cdot \frac{2 (\frac{x - 3}{x + 2}) + 3}{1 - \frac{x - 3}{x + 2}}$

Étape 5.2.3.2

Associez.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2}) + 3)}{(x + 2) (1 - \frac{x - 3}{x + 2})}$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 + (x + 2) (- \frac{x - 3}{x + 2})}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 5.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x - 3}{x + 2}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 + (x + 2) (\frac{- (x - 3)}{x + 2})}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 + (x + 2) (\frac{- (x - 3)}{x + 2})}$

Étape 5.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 2) \cdot 2 \frac{x - 3}{x + 2} + (x + 2) \cdot 3$ .

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Étape 5.2.6.1.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 2) \cdot 2 \frac{x - 3}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) \cdot 3}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.6.1.2

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 2) \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2})) + (x + 2) (3)}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.6.1.3

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 2) (2 \frac{x - 3}{x + 2}) + (x + 2) (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (2 (\frac{x - 3}{x + 2}) + 3)}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.6.2

Associez $2$ et $\frac{x - 3}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{2 (x - 3)}{x + 2} + 3)}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.6.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{2 (x - 3)}{x + 2} + \frac{3 (x + 2)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{2 (x - 3) + 3 (x + 2)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.6.6

Réécrivez $\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x + 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 2 (x - 3)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.6.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 x + 6 + 2 (x - 3)}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 x + 6 + 2 x + 2 \cdot - 3}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.6.6.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{3 x + 6 + 2 x - 6}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.6.6.5

Additionnez $3 x$ et $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x + 6 - 6}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.6.6.6

Soustrayez $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x + 0}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.6.6.7

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{(x + 2) \cdot 1 - (x - 3)}$

Étape 5.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.7.1

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{x + 2 - (x - 3)}$

Étape 5.2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{x + 2 - x + 3}$

Étape 5.2.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{x + 2 - x + 3}$

Étape 5.2.7.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{0 + 2 + 3}$

Étape 5.2.7.5

Additionnez $0$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{2 + 3}$

Étape 5.2.7.6

Additionnez $2$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{(x + 2) (\frac{5 x}{x + 2})}{5}$

Étape 5.2.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.8.1

Factorisez $\frac{5 x}{x + 2}$ à partir de $\frac{(x + 2) \frac{5 x}{x + 2}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{5 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{5}$

Étape 5.2.8.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{5 (x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{5}$

Étape 5.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{5 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{5}$

Étape 5.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$

Étape 5.2.8.3

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 5.2.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$

Étape 5.2.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x + 2}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{2 x + 3}{1 - x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{(\frac{2 x + 3}{1 - x}) - 3}{(\frac{2 x + 3}{1 - x}) + 2}$

Étape 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $\frac{\frac{2 x + 3}{1 - x} - 3}{\frac{2 x + 3}{1 - x} + 2}$ par $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{2 x + 3}{1 - x} - 3}{\frac{2 x + 3}{1 - x} + 2}$

Étape 5.3.3.2

Associez.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x} - 3)}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x} + 2)}$

Étape 5.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 3}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Étape 5.3.5

Simplifiez en annulant.

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 5.3.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 3}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Étape 5.3.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 + (1 - x) \cdot - 3}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 + (1 - x) \cdot - 3}{(1 - x) (\frac{2 x + 3}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Étape 5.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 + (1 - x) \cdot - 3}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Étape 5.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 + 1 \cdot - 3 - x \cdot - 3}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Étape 5.3.6.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 - 3 - x \cdot - 3}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Étape 5.3.6.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{2 x + 3 - 3 + 3 x}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Étape 5.3.6.4

Additionnez $2 x$ et $3 x$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x + 3 - 3}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Étape 5.3.6.5

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x + 0}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Étape 5.3.6.6

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{2 x + 3 + (1 - x) \cdot 2}$

Étape 5.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{2 x + 3 + 1 \cdot 2 - x \cdot 2}$

Étape 5.3.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{2 x + 3 + 2 - x \cdot 2}$

Étape 5.3.7.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{2 x + 3 + 2 - 2 x}$

Étape 5.3.7.4

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{0 + 3 + 2}$

Étape 5.3.7.5

Additionnez $0$ et $3$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{3 + 2}$

Étape 5.3.7.6

Additionnez $3$ et $2$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{5}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = \frac{5 x}{5}$

Étape 5.3.8.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{2 x + 3}{1 - x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 3}{1 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 3}{1 - x}$