Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ comme une équation.

$y = \frac{x}{x + 2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y}{y + 2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y}{y + 2} = x$ .

$\frac{y}{y + 2} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 2, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y + 2, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y + 2$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{y}{y + 2} = x$ par $y + 2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y}{y + 2} = x$ par $y + 2$ .

$\frac{y}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = x (y + 2)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x y + x \cdot 2$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = x y + 2 x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$y - x y = 2 x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $y - x y$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 2 x$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 2 x$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 2 x$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $y (1 - x) = 2 x$ par $1 - x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y (1 - x) = 2 x$ par $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2 x}{1 - x}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2 x}{1 - x}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 x}{1 - x}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x}{x + 2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 (\frac{x}{x + 2})}{1 - (\frac{x}{x + 2})}$

Étape 5.2.3

Associez $2$ et $\frac{x}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{1 - \frac{x}{x + 2}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x + 2}{x + 2} - \frac{x}{x + 2}}$

Étape 5.2.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x + 2 - x}{x + 2}}$

Étape 5.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - x + 2}{x + 2}}$

Étape 5.2.4.4

Réécrivez $\frac{x - x + 2}{x + 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.4.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{0 + 2}{x + 2}}$

Étape 5.2.4.4.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{2}{x + 2}}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2}$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 (x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2}$

Étape 5.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2}$

Étape 5.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 5.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2)$

Étape 5.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 2}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{2 x}{1 - x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{\frac{2 x}{1 - x}}{(\frac{2 x}{1 - x}) + 2}$

Étape 5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - x} + 2}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - x} + \frac{2 (1 - x)}{1 - x}}$

Étape 5.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 2 (1 - x)}{1 - x}}$

Étape 5.3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 2 (1 - x)}{- x + 1}}$

Étape 5.3.4.4

Réécrivez $\frac{2 x + 2 (1 - x)}{- x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 (1 - x)$ .

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Étape 5.3.4.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x) + 2 (1 - x)}{- x + 1}}$

Étape 5.3.4.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1 - x)$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x + 1 - x)}{- x + 1}}$

Étape 5.3.4.4.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 1)}{- x + 1}}$

Étape 5.3.4.4.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{- x + 1}}$

Étape 5.3.4.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{2}{- x + 1}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot (1 (\frac{- x + 1}{2}))$

Étape 5.3.6

Multipliez $\frac{- x + 1}{2}$ par $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 (x)}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (- x + 1)$

Étape 5.3.8

Multipliez $\frac{x}{1 - x}$ par $- x + 1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{1 - x}$

Étape 5.3.9

Annulez le facteur commun à $- x + 1$ et $1 - x$ .

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Étape 5.3.9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Étape 5.3.9.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Étape 5.3.9.3

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{2 x}{1 - x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{1 - x}$