Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$ comme une équation.

$y = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{4 y - 1}{2 y + 3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{4 y - 1}{2 y + 3} = x$ .

$\frac{4 y - 1}{2 y + 3} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 y + 3, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$2 y + 3, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 y + 3$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{4 y - 1}{2 y + 3} = x$ par $2 y + 3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4 y - 1}{2 y + 3} = x$ par $2 y + 3$ .

$\frac{4 y - 1}{2 y + 3} (2 y + 3) = x (2 y + 3)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y + 3$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y - 1}{2 y + 3} (2 y + 3) = x (2 y + 3)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 y - 1 = x (2 y + 3)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y - 1 = x (2 y) + x \cdot 3$

Étape 3.3.3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y - 1 = 2 x y + x \cdot 3$

Étape 3.3.3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$4 y - 1 = 2 x y + 3 x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$4 y - 1 - 2 x y = 3 x$

Étape 3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y - 2 x y = 3 x + 1$

Étape 3.4.3

Factorisez $2 y$ à partir de $4 y - 2 x y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $2 y$ à partir de $4 y$ .

$2 y (2) - 2 x y = 3 x + 1$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 x y$ .

$2 y (2) + 2 y (- x) = 3 x + 1$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (2) + 2 y (- x)$ .

$2 y (2 - x) = 3 x + 1$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $2 y (2 - x) = 3 x + 1$ par $2 (2 - x)$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y (2 - x) = 3 x + 1$ par $2 (2 - x)$ .

$\frac{2 y (2 - x)}{2 (2 - x)} = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y (2 - x)}{2 (2 - x)} = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Étape 3.4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2 - x$ .

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Étape 3.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Étape 3.4.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{3 (\frac{4 x - 1}{2 x + 3})}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))} + \frac{1}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Étape 5.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{3 (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) + 1}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Étape 5.2.3.2

Associez $3$ et $\frac{4 x - 1}{2 x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{3 (4 x - 1)}{2 x + 3} + 1}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Étape 5.2.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{3 (4 x - 1)}{2 x + 3} + \frac{2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Étape 5.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{3 (4 x - 1) + 2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 1 + 2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{12 x + 3 \cdot - 1 + 2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{12 x - 3 + 2 x + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Étape 5.2.4.4

Additionnez $12 x$ et $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{14 x - 3 + 3}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Étape 5.2.4.5

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{14 x + 0}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Étape 5.2.4.6

Additionnez $14 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{\frac{14 x}{2 x + 3}}{2 (2 - (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}))}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{14 x}{2 x + 3} \cdot \frac{1}{2 (2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $14 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{2 (7 x)}{2 x + 3} \cdot \frac{1}{2 (2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.6.1.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{2 (7 x)}{2 x + 3} \cdot \frac{1}{2 (2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.6.1.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{2 x + 3} \cdot \frac{1}{2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3}}$

Étape 5.2.6.2

Multipliez $\frac{7 x}{2 x + 3}$ par $\frac{1}{2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (2 - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.7.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{2 (2 x + 3)}{2 x + 3} - \frac{4 x - 1}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{2 (2 x + 3) - (4 x - 1)}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.7.3

Réécrivez $\frac{2 (2 x + 3) - (4 x - 1)}{2 x + 3}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.7.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{2 (2 x) + 2 \cdot 3 - (4 x - 1)}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.7.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 2 \cdot 3 - (4 x - 1)}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.7.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 6 - (4 x - 1)}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.7.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 6 - (4 x) + 1}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.7.3.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 6 - 4 x + 1}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.7.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{4 x + 6 - 4 x + 1}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.7.3.7

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{0 + 6 + 1}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.7.3.8

Additionnez $0$ et $6$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{6 + 1}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.7.3.9

Additionnez $6$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{7 x}{(2 x + 3) (\frac{7}{2 x + 3})}$

Étape 5.2.8

Factorisez $\frac{7}{2 x + 3}$ à partir de $\frac{7 x}{(2 x + 3) \frac{7}{2 x + 3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{2 x + 3}{7} \cdot \frac{7 x}{2 x + 3}$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun de $2 x + 3$ .

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Étape 5.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{2 x + 3}{7} \cdot \frac{7 x}{2 x + 3}$

Étape 5.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{1}{7} \cdot (7 x)$

Étape 5.2.10

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.10.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{1}{7} \cdot (7 (x))$

Étape 5.2.10.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = \frac{1}{7} \cdot (7 x)$

Étape 5.2.10.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 1}{2 x + 3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{4 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{4 (\frac{3 x}{2 (2 - x)}) + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{2 (2) (\frac{3 x}{2 (2 - x)}) + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{2 \cdot (2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)})) + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2 - x}) + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.3

Associez $2$ et $\frac{3 x}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{2 - x} + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + 4 (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + 2 (2) (\frac{1}{2 (2 - x)}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + 2 \cdot (2 (\frac{1}{2 (2 - x)})) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + 2 (\frac{1}{2 - x}) - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.6

Associez $2$ et $\frac{1}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x}{2 - x} + \frac{2}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.8

Factorisez $2$ à partir de $6 x + 2$ .

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Étape 5.3.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x) + 2}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.8.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x) + 2 (1)}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (1)$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1)}{2 - x} - 1}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1)}{2 - x} - 1 \cdot \frac{2 - x}{2 - x}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.10

Associez $- 1$ et $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1)}{2 - x} + \frac{- (2 - x)}{2 - x}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1) - (2 - x)}{2 - x}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x + 1) - (2 - x)}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.13

Réécrivez $\frac{2 (3 x + 1) - (2 - x)}{- x + 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 1 - (2 - x)}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.13.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 \cdot 1 - (2 - x)}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.13.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - (2 - x)}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.13.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - 1 \cdot 2 + x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.13.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - 2 + x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.13.6

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.3.3.13.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - 2 + 1 x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.13.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{6 x + 2 - 2 + x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.13.7

Additionnez $6 x$ et $x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x + 2 - 2}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.13.8

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x + 0}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.3.13.9

Additionnez $7 x$ et $0$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)}) + 2 (\frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{2 (\frac{3 x}{2 (2 - x)}) + 2 (\frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x}{2 - x} + 2 (\frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x}{2 - x} + 2 (\frac{1}{2 (2 - x)}) + 3}$

Étape 5.3.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x}{2 - x} + \frac{1}{2 - x} + 3}$

Étape 5.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 1}{2 - x} + 3}$

Étape 5.3.4.5

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 1}{2 - x} + \frac{3 (2 - x)}{2 - x}}$

Étape 5.3.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 1 + 3 (2 - x)}{2 - x}}$

Étape 5.3.4.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 3 (2 - x) + 1}{- x + 2}}$

Étape 5.3.4.8

Réécrivez $\frac{3 x + 3 (2 - x) + 1}{- x + 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 3 (- x) + 1}{- x + 2}}$

Étape 5.3.4.8.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 6 + 3 (- x) + 1}{- x + 2}}$

Étape 5.3.4.8.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{3 x + 6 - 3 x + 1}{- x + 2}}$

Étape 5.3.4.8.4

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{0 + 6 + 1}{- x + 2}}$

Étape 5.3.4.8.5

Additionnez $0$ et $6$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{6 + 1}{- x + 2}}$

Étape 5.3.4.8.6

Additionnez $6$ et $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{\frac{7 x}{- x + 2}}{\frac{7}{- x + 2}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{7 x}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{7}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{7 (x)}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{7}$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{7 x}{- x + 2} \cdot \frac{- x + 2}{7}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{x}{- x + 2} \cdot (- x + 2)$

Étape 5.3.7

Multipliez $\frac{x}{- x + 2}$ par $- x + 2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $- x + 2$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Étape 5.3.8.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (2 - x)} + \frac{1}{2 (2 - x)}$