Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ comme une équation.

$y = \frac{2 x + 1}{x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{2 y + 1}{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 y + 1}{y} = x$ .

$\frac{2 y + 1}{y} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2 y + 1}{y} = x$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2 y + 1}{y} = x$ par $y$ .

$\frac{2 y + 1}{y} y = x y$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y + 1}{y} y = x y$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 y + 1 = x y$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$2 y + 1 - x y = 0$

Étape 3.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 y - x y = - 1$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $2 y - x y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y \cdot 2 - x y = - 1$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$y \cdot 2 + y (- x) = - 1$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 2 + y (- x)$ .

$y (2 - x) = - 1$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (2 - x) = - 1$ par $2 - x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (2 - x) = - 1$ par $2 - x$ .

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{- 1}{2 - x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2 - x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{- 1}{2 - x}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 - x}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{2 - x}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{2 - (\frac{2 x + 1}{x})}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x}{x} - \frac{2 x + 1}{x}}$

Étape 5.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - (2 x + 1)}{x}}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez $\frac{2 x - (2 x + 1)}{x}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - (2 x) - 1 \cdot 1}{x}}$

Étape 5.2.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - 2 x - 1 \cdot 1}{x}}$

Étape 5.2.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{2 x - 2 x - 1}{x}}$

Étape 5.2.3.3.4

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{0 - 1}{x}}$

Étape 5.2.3.3.5

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{\frac{- 1}{x}}$

Étape 5.2.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{1}{- \frac{1}{x}}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{x}}$

Étape 5.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = 1 x$

Étape 5.2.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{1}{2 - x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{2 (- \frac{1}{2 - x}) + 1}{- \frac{1}{2 - x}}$

Étape 5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (2 (- \frac{1}{2 - x}) + 1) (- (2 - x))$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

Multipliez $2 (- \frac{1}{2 - x})$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- 2 \frac{1}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Étape 5.3.4.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 - x}$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (\frac{- 2}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Étape 5.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- \frac{2}{2 - x} + 1) (- (2 - x))$

Étape 5.3.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = (- \frac{2}{2 - x} + \frac{2 - x}{2 - x}) (- (2 - x))$

Étape 5.3.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x} \cdot (- (2 - x))$

Étape 5.3.5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Étape 5.3.5.4

Annulez le facteur commun de $2 - x$ .

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Étape 5.3.5.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{- 2 + 2 - x}{2 - x}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 + 2 - x)}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Étape 5.3.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = \frac{- (- 2 + 2 - x)}{2 - x} \cdot (2 - x)$

Étape 5.3.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - (- 2 + 2 - x)$

Étape 5.3.5.5

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.3.5.5.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = - (0 - x)$

Étape 5.3.5.5.2

Soustrayez $x$ de $0$ .

$f (- \frac{1}{2 - x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{2 - x}$