Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{3 - 2 x}{x}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{3 - 2 (x + h)}{x + h}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$ .

$\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$

$f (x) = \frac{3 - 2 x}{x}$

$f (x + h) = \frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$

$f (x) = \frac{3 - 2 x}{x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h} - (\frac{3 - 2 x}{x})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3 - 2 x}{x}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{3 - 2 x}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3 - 2 x}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{3 - 2 x - 2 h}{x + h}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{(3 - 2 x - 2 h) x}{(x + h) x} - \frac{3 - 2 x}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{3 - 2 x}{x}$ par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{(3 - 2 x - 2 h) x}{(x + h) x} - \frac{(3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{(3 - 2 x - 2 h) x}{x (x + h)} - \frac{(3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{(3 - 2 x - 2 h) x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{(3 - 2 x - 2 h) x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 x - 2 x \cdot x - 2 h x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 (x \cdot x) - 2 h x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - (3 - 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x + (- 1 \cdot 3 - (- 2 x)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x + (- 3 - (- 2 x)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x + (- 3 + 2 x) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Développez $(- 3 + 2 x) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 (x + h) + 2 x (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 x - 3 h + 2 x (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 x - 3 h + 2 x \cdot x + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.7.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 x - 3 h + 2 (x \cdot x) + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{3 x - 2 x^{2} - 2 h x - 3 x - 3 h + 2 x^{2} + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 2 h x + 0 - 3 h + 2 x^{2} + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 2 h x - 3 h + 2 x^{2} + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - 3 h + 0 + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Additionnez $- 2 h x$ et $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - 3 h + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.12

Additionnez $- 2 h x$ et $2 x h$ .

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Étape 4.1.5.12.1

Déplacez $h$ .

$\frac{\frac{- 3 h - 2 x h + 2 x h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.12.2

Additionnez $- 2 x h$ et $2 x h$ .

$\frac{\frac{- 3 h + 0}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.13

Additionnez $- 3 h$ et $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{3 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 h}{x (x + h)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h$ .

$\frac{h \cdot - 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot - 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{x (x + h)}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x (x + h)}$

Étape 5