Pré-calcul Exemples

${(x^{2} + y^{3})}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(x^{2})}^{4 - k} \cdot {(y^{3})}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 0} \cdot {(y^{3})}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 1} \cdot {(y^{3})}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 2} \cdot {(y^{3})}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 3} \cdot {(y^{3})}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 4} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(x^{2})}^{4} \cdot {(y^{3})}^{0} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x^{2})}^{4}$ par $1$ .

${(x^{2})}^{4} \cdot {(y^{3})}^{0} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{4}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2 \cdot 4} \cdot {(y^{3})}^{0} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x^{8} \cdot {(y^{3})}^{0} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{0}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} \cdot y^{3 \cdot 0} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.3.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$x^{8} \cdot y^{0} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{8} \cdot 1 + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.5

Multipliez $x^{8}$ par $1$ .

$x^{8} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 4.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot {(y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{8} + 4 \cdot x^{6} \cdot {(y^{3})}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.7

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{1}$ .

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Étape 4.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} \cdot y^{3 \cdot 1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.7.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} \cdot y^{3} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.8

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 \cdot x^{4} \cdot {(y^{3})}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.9

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{2}$ .

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Étape 4.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 x^{4} \cdot y^{3 \cdot 2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.9.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 x^{4} \cdot y^{6} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.10

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{1}$ .

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Étape 4.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 x^{4} y^{6} + 4 \cdot x^{2 \cdot 1} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.10.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 x^{4} y^{6} + 4 \cdot x^{2} \cdot {(y^{3})}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.11

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{3}$ .

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Étape 4.11.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 x^{4} y^{6} + 4 x^{2} \cdot y^{3 \cdot 3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.11.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 x^{4} y^{6} + 4 x^{2} \cdot y^{9} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.12

Multipliez ${(x^{2})}^{0}$ par $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 x^{4} y^{6} + 4 x^{2} y^{9} + {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.13

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{0}$ .

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Étape 4.13.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 x^{4} y^{6} + 4 x^{2} y^{9} + x^{2 \cdot 0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.13.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 x^{4} y^{6} + 4 x^{2} y^{9} + x^{0} \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.14

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 x^{4} y^{6} + 4 x^{2} y^{9} + 1 \cdot {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.15

Multipliez ${(y^{3})}^{4}$ par $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 x^{4} y^{6} + 4 x^{2} y^{9} + {(y^{3})}^{4}$

Étape 4.16

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{4}$ .

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Étape 4.16.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 x^{4} y^{6} + 4 x^{2} y^{9} + y^{3 \cdot 4}$

Étape 4.16.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$x^{8} + 4 x^{6} y^{3} + 6 x^{4} y^{6} + 4 x^{2} y^{9} + y^{12}$