Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ comme une équation.

$y = \sqrt{16 - x^{2}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{16 - y^{2}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{16 - y^{2}} = x$ .

$\sqrt{16 - y^{2}} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{16 - y^{2}}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{16 - y^{2}}$ comme ${(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(16 - y^{2})}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$16 - y^{2} = x^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} = x^{2} - 16$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = x^{2} - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = x^{2} - 16$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 16}{- 1}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 16}{- 1}$

Étape 3.4.2.3.1.3

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 16$

Étape 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 16}$

Étape 3.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- x^{2} + 16}$ .

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Étape 3.4.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.4.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 4^{2}}$

Étape 3.4.4.1.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - x^{2}}$

Étape 3.4.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Étape 3.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Étape 3.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Étape 3.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, 4]$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Étape 5.3.2.2

Définissez $4 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Définissez $4 + x$ égal à $0$ .

$4 + x = 0$

Étape 5.3.2.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5.3.2.3

Définissez $4 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Définissez $4 - x$ égal à $0$ .

$4 - x = 0$

Étape 5.3.2.3.2

Résolvez $4 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.2.3.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 5.3.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 5.3.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 4, 4$

Étape 5.3.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Étape 5.3.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.3.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 5.3.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Étape 5.3.2.6.1.3

Le côté gauche $- 20$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.3.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.3.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Étape 5.3.2.6.2.3

Le côté gauche $16$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 5.3.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Étape 5.3.2.6.3.3

Le côté gauche $- 20$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.3.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 5.3.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 \leq x \leq 4$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 4, 4]$

Étape 5.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ n’est pas un inverse de $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6