Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x}{x - 5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x}{x - 5}$ comme une équation.

$y = \frac{x}{x - 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y}{y - 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez l’équation par $y - 5$ .

$(y - 5) (x) = (\frac{y}{y - 5}) (y - 5)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 5 x = (\frac{y}{y - 5}) (y - 5)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $y - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y x - 5 x = \frac{y}{y - 5} (y - 5)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x - 5 x = y$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y x - 5 x - y = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $5 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x - y = 5 x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) - y = 5 x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 5 x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 5 x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 5 x$ par $x - 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 5 x$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{5 x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{5 x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5 x}{x - 1}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{x - 5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x}{x - 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{x}{x - 5})}{(\frac{x}{x - 5}) - 1}$

Étape 5.2.3

Associez $5$ et $\frac{x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} - 1}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} - 1 \cdot \frac{x - 5}{x - 5}}$

Étape 5.2.4.2

Associez $- 1$ et $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x}{x - 5} + \frac{- (x - 5)}{x - 5}}$

Étape 5.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - (x - 5)}{x - 5}}$

Étape 5.2.4.4

Réécrivez $\frac{x - (x - 5)}{x - 5}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - x + 5}{x - 5}}$

Étape 5.2.4.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{x - x + 5}{x - 5}}$

Étape 5.2.4.4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{0 + 5}{x - 5}}$

Étape 5.2.4.4.4

Additionnez $0$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 x}{x - 5}}{\frac{5}{x - 5}}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 (x)}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

Étape 5.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{5 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{5}$

Étape 5.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Étape 5.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{5 x}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{\frac{5 x}{x - 1}}{(\frac{5 x}{x - 1}) - 5}$

Étape 5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} - 5}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} - 5 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.2

Associez $- 5$ et $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x}{x - 1} + \frac{- 5 (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 x - 5 (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4

Réécrivez $\frac{5 x - 5 (x - 1)}{x - 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x - 5 (x - 1)$ .

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Étape 5.3.4.4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x) - 5 (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 (x - 1)$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 1))}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (x) + 5 (- (x - 1))$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - (x - 1))}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 (0 + 1)}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5 \cdot 1}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{5}{x - 1}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot (1 (\frac{x - 1}{5}))$

Étape 5.3.6

Multipliez $\frac{x - 1}{5}$ par $1$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 (x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{5}$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Étape 5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{x - 1}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 1}$