Pré-calcul Exemples

$f (x) = {(x - 6)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre décroissant pour utiliser la règle de Descartes.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 6)}^{2}$ comme $(x - 6) (x - 6)$ .

$(x - 6) (x - 6) {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.2

Développez $(x - 6) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (x - 6) - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) ((x + 2) (x + 2))$

Étape 1.5

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Étape 1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Étape 1.6.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$

Étape 1.7

Développez $(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8

Simplifiez les termes.

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.8.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.4

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.8.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x^{1}) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{2 + 1} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x \cdot x - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.1.7.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 (x \cdot x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.8

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.9

Multipliez $4$ par $- 12$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.10

Multipliez $4$ par $36$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 36 \cdot 4$

Étape 1.8.1.11

Multipliez $36$ par $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Étape 1.8.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.8.2.1

Soustrayez $12 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Étape 1.8.2.2

Soustrayez $48 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 44 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Étape 1.8.2.3

Additionnez $- 44 x^{2}$ et $36 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x + 144 x + 144$

Étape 1.8.2.4

Additionnez $- 48 x$ et $144 x$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

Étape 2

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

Étape 3

Comme il y a $2$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $2$ racines positives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines positives sont déterminés en soustrayant des paires des racines $(2 - 2)$ .

Racines positives : $2$ ou $0$

Étape 4

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Étape 5.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- x) = 1 x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Étape 5.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Étape 5.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Étape 5.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 (- x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Étape 5.6

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Étape 5.7

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 96 (- x) + 144$

Étape 5.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 (1 x^{2}) + 96 (- x) + 144$

Étape 5.9

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 (- x) + 144$

Étape 5.10

Multipliez $- 1$ par $96$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 96 x + 144$

Étape 6

Comme il y a $2$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $2$ racines négatives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines négatives sont déterminés en soustrayant des paires des racines (ex : $2 - 2$ ).

Racines négatives : $2$ ou $0$

Étape 7

Le nombre possible de racines positives est $2$ ou $0$ , et le nombre possible de racines négatives est $2$ ou $0$ .

Racines positives : $2$ ou $0$

Racines négatives : $2$ ou $0$