Pré-calcul Exemples

$5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3 = 0$

Étape 1

Factorisez $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 5$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 3, \pm 0.6$

Étape 1.3

Remplacez $0.6$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.6$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $0.6$ dans le polynôme.

$5 \cdot {0.6}^{3} + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

Étape 1.3.2

Élevez $0.6$ à la puissance $3$ .

$5 \cdot 0.216 + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

Étape 1.3.3

Multipliez $5$ par $0.216$ .

$1.08 + 7 \cdot {0.6}^{2} - 11 \cdot 0.6 + 3$

Étape 1.3.4

Élevez $0.6$ à la puissance $2$ .

$1.08 + 7 \cdot 0.36 - 11 \cdot 0.6 + 3$

Étape 1.3.5

Multipliez $7$ par $0.36$ .

$1.08 + 2.52 - 11 \cdot 0.6 + 3$

Étape 1.3.6

Additionnez $1.08$ et $2.52$ .

$3.6 - 11 \cdot 0.6 + 3$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 11$ par $0.6$ .

$3.6 - 6.6 + 3$

Étape 1.3.8

Soustrayez $6.6$ de $3.6$ .

$- 3 + 3$

Étape 1.3.9

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $0.6$ est une racine connue, divisez le polynôme par $5 x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3}{5 x - 3}$

Étape 1.5

Divisez $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ par $5 x - 3$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$5 x$

$3$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$11 x$

$3$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 x$ .

					$x^{2}$
	$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			+	$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $10 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $10 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							-	$5 x$	+	$3$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x + 3$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							+	$5 x$	-	$3$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$5 x$	-	$3$		$5 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$3$
			-	$5 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$3$
							+	$5 x$	-	$3$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 2 x - 1$

Étape 1.6

Écrivez $5 x^{3} + 7 x^{2} - 11 x + 3$ comme un ensemble de facteurs.

$(5 x - 3) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $5 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $5 x - 3$ égal à $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $5 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 3$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 3$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 3$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Étape 4

Définissez $x^{2} + 2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} + 2 x - 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 x - 3) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{3}{5}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{3}{5}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Forme décimale :

$x = 0.6, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$