Pré-calcul Exemples

$\log_{5} (x - 7) + \log_{5} (x - 4) - \log_{5} (x) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 7) (x - 4)) - \log_{5} (x) = 1$

Étape 1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{(x - 7) (x - 4)}{x}) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log_{5} (\frac{(x - 7) (x - 4)}{x}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{(x - 7) (x - 4)}{x}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$(x - 7) (x - 4) = 5 (x)$

Étape 4

Multipliez $5$ par $x$ .

$(x - 7) (x - 4) = 5 x$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$(x - 7) (x - 4) - 5 x = 0$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Développez $(x - 7) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 4) - 7 (x - 4) - 5 x = 0$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 7 (x - 4) - 5 x = 0$

Étape 5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Étape 5.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Étape 5.2.2.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 4 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Étape 5.2.2.1.3

Multipliez $- 7$ par $- 4$ .

$x^{2} - 4 x - 7 x + 28 - 5 x = 0$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $7 x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} - 11 x + 28 - 5 x = 0$

Étape 5.3

Soustrayez $5 x$ de $- 11 x$ .

$x^{2} - 16 x + 28 = 0$

Étape 6

Factorisez $x^{2} - 16 x + 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $28$ et dont la somme est $- 16$ .

$- 14, - 2$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 14) (x - 2) = 0$

Étape 7

Simplifiez $(x - 14) (x - 2)$ .

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Étape 7.1

Développez $(x - 14) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 2) - 14 (x - 2) = 0$

Étape 7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 14 (x - 2) = 0$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Étape 7.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Étape 7.2.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 14$ par $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 14 x + 28 = 0$

Étape 7.2.2

Soustrayez $14 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 16 x + 28 = 0$

Étape 8

Factorisez $x^{2} - 16 x + 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $28$ et dont la somme est $- 16$ .

$- 14, - 2$

Étape 8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 14) (x - 2) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 14 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 10

Définissez $x - 14$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x - 14$ égal à $0$ .

$x - 14 = 0$

Étape 10.2

Ajoutez $14$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 14$

Étape 11

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 14) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 14, 2$

Étape 13

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{5} (x - 7) + \log_{5} (x - 4) - \log_{5} (x) = 1$ vrai.

$x = 14$