Pré-calcul Exemples

$5^{7 x + 1} = 7^{x - 5}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (5^{7 x + 1}) = \ln (7^{x - 5})$

Étape 2

Développez $\ln (5^{7 x + 1})$ en déplaçant $7 x + 1$ hors du logarithme.

$(7 x + 1) \ln (5) = \ln (7^{x - 5})$

Étape 3

Développez $\ln (7^{x - 5})$ en déplaçant $x - 5$ hors du logarithme.

$(7 x + 1) \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $(7 x + 1) \ln (5)$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (7 x + 1) \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Étape 4.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(7 x + 1) \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 x \ln (5) + 1 \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Étape 4.1.4

Multipliez $\ln (5)$ par $1$ .

$7 x \ln (5) + \ln (5) = (x - 5) \ln (7)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 x \ln (5) + \ln (5) = x \ln (7) - 5 \ln (7)$

Étape 4.3

Soustrayez $x \ln (7)$ des deux côtés de l’équation.

$7 x \ln (5) + \ln (5) - x \ln (7) = - 5 \ln (7)$

Étape 4.4

Soustrayez $\ln (5)$ des deux côtés de l’équation.

$7 x \ln (5) - x \ln (7) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Étape 4.5

Factorisez $x$ à partir de $7 x \ln (5) - x \ln (7)$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x \ln (5)$ .

$x (7 \ln (5)) - x \ln (7) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Étape 4.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (7)$ .

$x (7 \ln (5)) + x (- 1 \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Étape 4.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (7 \ln (5)) + x (- 1 \ln (7))$ .

$x (7 \ln (5) - 1 \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Étape 4.6

Réécrivez $- 1 \ln (7)$ comme $- \ln (7)$ .

$x (7 \ln (5) - \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$

Étape 4.7

Divisez chaque terme dans $x (7 \ln (5) - \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$ par $7 \ln (5) - \ln (7)$ et simplifiez.

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Étape 4.7.1

Divisez chaque terme dans $x (7 \ln (5) - \ln (7)) = - 5 \ln (7) - \ln (5)$ par $7 \ln (5) - \ln (7)$ .

$\frac{x (7 \ln (5) - \ln (7))}{7 \ln (5) - \ln (7)} = \frac{- 5 \ln (7)}{7 \ln (5) - \ln (7)} + \frac{- \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Étape 4.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.7.2.1

Annulez le facteur commun de $7 \ln (5) - \ln (7)$ .

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Étape 4.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (7 \ln (5) - \ln (7))}{7 \ln (5) - \ln (7)} = \frac{- 5 \ln (7)}{7 \ln (5) - \ln (7)} + \frac{- \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Étape 4.7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \ln (7)}{7 \ln (5) - \ln (7)} + \frac{- \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Étape 4.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 5 \ln (7) - \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Étape 4.7.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 \ln (7)$ .

$x = \frac{- (5 \ln (7)) - \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Étape 4.7.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (5)$ .

$x = \frac{- (5 \ln (7)) - \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Étape 4.7.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 \ln (7)) - \ln (5)$ .

$x = \frac{- (5 \ln (7) + \ln (5))}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Étape 4.7.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.3.5.1

Réécrivez $- (5 \ln (7) + \ln (5))$ comme $- 1 (5 \ln (7) + \ln (5))$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (7) + \ln (5))}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Étape 4.7.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 \ln (7) + \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{5 \ln (7) + \ln (5)}{7 \ln (5) - \ln (7)}$

Forme décimale :

$x = - 1.21660941 \dots$