Pré-calcul Exemples

$\cos (\arcsin (\frac{x - h}{r}))$

Étape 1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, \frac{x - h}{r})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (\frac{x - h}{r})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, \frac{x - h}{r})$ . Ainsi, $\cos (\arcsin (\frac{x - h}{r}))$ est $\sqrt{1 - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x - h}{r}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x - h}{r}) (1 - \frac{x - h}{r})}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x - h}{r}) (1 - \frac{x - h}{r})}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x - h}{r})}$

Étape 3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x - h}{r})}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - (x - h)}{r}}$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{r - (x - h)}{r}$ en forme factorisée.

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x - - h}{r}}$

Étape 3.5.2

Multipliez $- - h$ .

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x + 1 h}{r}}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $h$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

Étape 4

Multipliez $\frac{r + x - h}{r}$ par $\frac{r - x + h}{r}$ .

$\sqrt{\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r \cdot r}}$

Étape 5

Multipliez $r$ par $r$ .

$\sqrt{\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r^{2}}}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r^{2}}$ comme ${(\frac{1}{r})}^{2} ((r + x - h) (r - x + h))$ .

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Étape 6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(r + x - h) (r - x + h)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2}}}$

Étape 6.2

Factorisez la puissance parfaite $r^{2}$ dans $r^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2} \cdot 1}}$

Étape 6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}$

Étape 7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{r} \sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}$

Étape 8

Associez $\frac{1}{r}$ et $\sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}$ .

$\frac{\sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}}{r}$