Pré-calcul Exemples

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$ par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 3

Associez.

$\frac{\tan (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Étape 4.2

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Développez $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 7.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 8.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.1.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)$ .

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Étape 8.1.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.1.2.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.2

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.4

Associez.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun à $\sin (x)$ et ${\sin (x)}^{2}$ .

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Étape 8.5.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.5.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Étape 8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Étape 8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 8.6

Multipliez $1 + \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 9

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\csc (x) (1 + \sec (x))$

Étape 10

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 10.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \sec (x))$

Étape 10.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 11.2

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 11.3

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Étape 12

Additionnez des fractions.

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Étape 12.1

Pour écrire $\frac{1}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Étape 12.2

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Étape 12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin (x) \cos (x)}$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 14

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$ est une identité