Pré-calcul Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{4} (2 x + 1)}$

Étape 1

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} (2 x + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{2} (x^{2} (2 x + 1))}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 - 4 x^{3})}{x^{2} (x^{2} (2 x + 1))}$

Étape 1.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{x^{2} (2 x + 1)}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1}$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

Étape 2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{2} x + x^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2}}$

Étape 2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{1 + 2} + x^{2}}$

Étape 2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 4 x^{3}}{2 x^{3} + x^{2}}$

Étape 3

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{- 4 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 4.1.2

Divisez $- 4$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 4.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}}}$

Étape 4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x}}$

Étape 4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x}}$

Étape 4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - 4}{2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 6.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{2 + 0}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun à $0 - 1 \cdot 4$ et $2 + 0$ .

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Étape 8.1.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$\frac{- 1 (0) - 1 \cdot 4}{2 + 0}$

Étape 8.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 4$ .

$\frac{- 1 (0) - 1 (4)}{2 + 0}$

Étape 8.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (0) - 1 (4)$ .

$\frac{- 1 (0 + 4)}{2 + 0}$

Étape 8.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (0 + 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 + 0}$

Étape 8.1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 (1) + 0}$

Étape 8.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 0}$

Étape 8.1.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 \cdot 0$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot (1 + 0)}$

Étape 8.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (0 + 2))}{2 \cdot (1 + 0)}$

Étape 8.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (0 + 2)}{1 + 0}$

Étape 8.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{1 + 0}$

Étape 8.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{1}$

Étape 8.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2}{1}$

Étape 8.5

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- 2$