Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 1}^{8} 4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ et ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ à partir de ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ par $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $k$ et $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $k$ de $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$r = \frac{2}{3}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $k$ par $1$ dans $4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Étape 3.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

Étape 3.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.5

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$a = 4 \cdot 1$

Étape 3.2.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$a = 4$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$4 \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}})$

Étape 5.1.2

Associez.

$4 \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$4 \frac{3 + 3 (- \frac{2^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2^{8}}{3^{8}}$ dans le numérateur.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $3$ à partir de $3^{8}$ .

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{3 + \frac{- 2^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4.4

Élevez $2$ à la puissance $8$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4.5

Élevez $3$ à la puissance $7$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4.6

Multipliez $- 1$ par $256$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 \frac{3 - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4.8

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4.9

Associez $3$ et $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.11.1

Multipliez $3$ par $2187$ .

$4 \frac{\frac{6561 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.4.11.2

Soustrayez $256$ de $6561$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Étape 5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 - 2}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{1}$

Étape 5.6

Divisez $\frac{6305}{2187}$ par $1$ .

$4 (\frac{6305}{2187})$

Étape 5.7

Multipliez $4 (\frac{6305}{2187})$ .

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Étape 5.7.1

Associez $4$ et $\frac{6305}{2187}$ .

$\frac{4 \cdot 6305}{2187}$

Étape 5.7.2

Multipliez $4$ par $6305$ .

$\frac{25220}{2187}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{25220}{2187}$

Forme décimale :

$11.53177869 \dots$

Forme de nombre mixte :

$11 \frac{1163}{2187}$