Pré-calcul Exemples

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 12$

$b = 5$

$k = 2$

$h = - 3$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 3, 2)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{144 + {(5)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{144 + 25}$

Étape 5.3.3

Additionnez $144$ et $25$ .

$\sqrt{169}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $169$ comme $13^{2}$ .

$\sqrt{13^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$13$

Étape 6

Déterminez les sommets.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(9, 2)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 15, 2)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(9, 2), (- 15, 2)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(10, 2)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 16, 2)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(10, 2), (- 16, 2)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}}{12}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 5^{2}}}{12}$

Étape 8.3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 25}}{12}$

Étape 8.3.3

Additionnez $144$ et $25$ .

$\frac{\sqrt{169}}{12}$

Étape 8.3.4

Réécrivez $169$ comme $13^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{12}$

Étape 8.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{13}{12}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{5^{2}}{13}$

Étape 9.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{25}{13}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{5}{12}$ et $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Étape 11.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Étape 11.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2$

Étape 11.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 11.2.3

Associez $2$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 8}{4}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $5$ et $8$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Étape 12.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{12}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot 3 + 2$

Étape 12.2.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Étape 12.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Étape 12.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Étape 12.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.5.1

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{5 \cdot x}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Étape 12.2.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2$

Étape 12.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 12.2.3

Associez $2$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 8}{4}$

Étape 12.2.5.2

Additionnez $- 5$ et $8$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(- 3, 2)$

Sommets : $(9, 2), (- 15, 2)$

Foyers : $(10, 2), (- 16, 2)$

Excentricité : $\frac{13}{12}$

Paramètre focal : $\frac{25}{13}$

Asymptotes : $y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Étape 15