Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 16}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 16}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 16 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq 16$

Étape 2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{16}$

Étape 2.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{16}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{16}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{4^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq | 4 |$

Étape 2.3.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$| x | \geq 4$

Étape 2.4

Écrivez $| x | \geq 4$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq 4$

Étape 2.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq 4$

Étape 2.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq 4 & x \geq 0 \\ - x \geq 4 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.5

Déterminez l’intersection de $x \geq 4$ et $x \geq 0$ .

$x \geq 4$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $- x \geq 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 4$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{4}{- 1}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{4}{- 1}$

Étape 2.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{4}{- 1}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.1

Divisez $4$ par $- 1$ .

$x \leq - 4$

Étape 2.7

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - 4$ ou $x \geq 4$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 4, x \geq 4}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \geq 0}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - 4] \cup [4, \infty), {x | x \leq - 4, x \geq 4}$

Plage : $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Étape 6