Pré-calcul Exemples

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - k} \cdot {(\cos (x))}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 0} \cdot \cos^{0} (x) + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 1} \cdot \cos^{1} (x) + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 2} \cdot \cos^{2} (x)$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Étape 4

Simplifiez le résultat polynomial.

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Étape 4.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1.1

Factorisez $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ à partir de $1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ .

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ à partir de $1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ à partir de $2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Étape 4.1.1.3

Factorisez $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ à partir de $1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$

Étape 4.1.1.4

Factorisez $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ à partir de $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$

Étape 4.1.1.5

Factorisez $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ à partir de $\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x) + 1 \cdot \cos^{2} (x))$

Étape 4.1.2

Déplacez $1 \cdot \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 1 \cdot \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Étape 4.1.3

Factorisez $1$ à partir de $1 \cdot \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x)) + 1 \cdot \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Étape 4.1.4

Factorisez $1$ à partir de $1 \cdot \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x)) + 1 (\cos^{2} (x)) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Étape 4.1.5

Factorisez $1$ à partir de $1 (\sin^{2} (x)) + 1 (\cos^{2} (x))$ .

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Étape 4.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Étape 4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 \cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Étape 4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\cos^{0} (x)$ par $1$ .

$\cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Étape 4.3.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$ par $1$ .

$1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$

Étape 4.3.3.2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$1 + \sin (2 x)$