Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (x - 1) + 3$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\log_{\frac{1}{3}} ({(x - 1)}^{2}) + 3$ est indéfinie.

$x = 1$

Étape 1.2

Ignorez le logarithme et étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 1.3

Il n’y a pas d’asymptote horizontale car $Q (x)$ est $1$ .

Aucune asymptote horizontale

Étape 1.4

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.5

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes verticales : $x = 1$

Aucune asymptote horizontale

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 2 \log_{\frac{1}{3}} ((2) - 1) + 3$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (2) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (1) + 3$

Étape 2.2.1.2

La base logarithmique $\frac{1}{3}$ de $1$ est $0$ .

$f (2) = 2 \cdot 0 + 3$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (2) = 0 + 3$

Étape 2.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$f (2) = 3$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 2.3

Convertissez $3$ en décimale.

$y = 3$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 4$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = 2 \log_{\frac{1}{3}} ((4) - 1) + 3$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f (4) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (3) + 3$

Étape 3.2.1.2

La base logarithmique $\frac{1}{3}$ de $3$ est $- 1$ .

$f (4) = 2 \cdot - 1 + 3$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (4) = - 2 + 3$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f (4) = 1$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 3.3

Convertissez $1$ en décimale.

$y = 1$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 10$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f (10) = 2 \log_{\frac{1}{3}} ((10) - 1) + 3$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Soustrayez $1$ de $10$ .

$f (10) = 2 \log_{\frac{1}{3}} (9) + 3$

Étape 4.2.1.2

La base logarithmique $\frac{1}{3}$ de $9$ est $- 2$ .

$f (10) = 2 \cdot - 2 + 3$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (10) = - 4 + 3$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 4$ et $3$ .

$f (10) = - 1$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 4.3

Convertissez $- 1$ en décimale.

$y = - 1$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 1$ et les points $(2, 3), (4, 1), (10, - 1)$ .

Asymptote verticale : $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ 10 & - 1 \end{array}$

Étape 6