Pré-calcul Exemples

$f (x) = 6 x^{3} - 3$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 6 x^{3} - 3$ comme une équation.

$y = 6 x^{3} - 3$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 6 y^{3} - 3$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $6 y^{3} - 3 = x$ .

$6 y^{3} - 3 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y^{3} = x + 3$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $6 y^{3} = x + 3$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $6 y^{3} = x + 3$ par $6$ .

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Étape 3.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Étape 3.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.5.1

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.5.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{3}{6}}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 3}{6}}$

Étape 3.5.4

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{x + 3}{6}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$

Étape 3.5.5

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Étape 3.5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Étape 3.5.6.2

Élevez $\sqrt[3]{6}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Étape 3.5.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

Étape 3.5.6.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

Étape 3.5.6.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ comme $6$ .

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Étape 3.5.6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{6}$ comme $6^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.5.6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.5.6.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.6.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.6.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.6.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

Étape 3.5.6.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

Étape 3.5.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.7.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

Étape 3.5.7.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{36}}{6}$

Étape 3.5.8

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 36}}{6}$

Étape 3.5.8.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 36}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$ est l’inverse de $f (x) = 6 x^{3} - 3$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (6 x^{3} - 3)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{36 ((6 x^{3} - 3) + 3)}}{6}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $6 x^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $36$ par $6$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

Étape 5.2.3.4

Réécrivez $216 x^{3}$ comme ${(6 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

Étape 5.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{6 x}{6}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{6 x}{6}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6})}^{3} - 3$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}^{3}}{6^{3}}) - 3$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{36 (x + 3)}}^{3}$ comme $36 (x + 3)$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{36 (x + 3)}$ comme ${(36 (x + 3))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{({(36 (x + 3))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}}) - 3$

Étape 5.3.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 3))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}}) - 3$

Étape 5.3.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 3))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 3$

Étape 5.3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 3))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 3$

Étape 5.3.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6^{3}}) - 3$

Étape 5.3.3.2.1.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6^{3}}) - 3$

Étape 5.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 3}{6^{3}}) - 3$

Étape 5.3.3.2.3

Multipliez $36$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 108}{6^{3}}) - 3$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $36$ à partir de $36 x + 108$ .

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Étape 5.3.3.2.4.1

Factorisez $36$ à partir de $36 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x) + 108}{6^{3}}) - 3$

Étape 5.3.3.2.4.2

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 3}{6^{3}}) - 3$

Étape 5.3.3.2.4.3

Factorisez $36$ à partir de $36 x + 36 \cdot 3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6^{3}}) - 3$

Étape 5.3.3.3

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{216}) - 3$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $6$ à partir de $216$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6 (36)}) - 3$

Étape 5.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6 \cdot 36}) - 3$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = \frac{36 (x + 3)}{36} - 3$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = \frac{36 (x + 3)}{36} - 3$

Étape 5.3.3.5.2

Divisez $x + 3$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = x + 3 - 3$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$ est l’inverse de $f (x) = 6 x^{3} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$