Pré-calcul Exemples

$\log_{x} (125) = 3$

Étape 1

Réécrivez $\log_{x} (125) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$x^{3} = 125$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $125$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 125 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$x^{3} - 5^{3} = 0$

Étape 2.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) = 0$

Étape 2.2.3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} + 5 x + 25$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} + 5 x + 25$ égal à $0$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 5$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 75$ comme $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (75)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.2.3.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ vraie.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$