Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} - \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} + 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x + 2) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x - 3) (x + 1) (x + 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 3 - (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x - 3 - x - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Étape 6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 3 - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Étape 6.4

Soustrayez $3$ de $0$ .

$\frac{- 3 - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Étape 6.5

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$\frac{- 5}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$