Pré-calcul Exemples

$\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 5) (x + 15)) = 3$

Étape 1.2

Développez $(x - 5) (x + 15)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x (x + 15) - 5 (x + 15)) = 3$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 (x + 15)) = 3$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $15$ à gauche de $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 15 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $15$ .

$\log_{5} (x^{2} + 15 x - 5 x - 75) = 3$

Étape 1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $15 x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$

Étape 2

Réécrivez $\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{3} = x^{2} + 10 x - 75$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$ .

$x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$

Étape 3.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$x^{2} + 10 x - 75 = 125$

Étape 3.3

Soustrayez $125$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 10 x - 75 - 125 = 0$

Étape 3.4

Soustrayez $125$ de $- 75$ .

$x^{2} + 10 x - 200 = 0$

Étape 3.5

Factorisez $x^{2} + 10 x - 200$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 200$ et dont la somme est $10$ .

$- 10, 20$

Étape 3.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 10) (x + 20) = 0$

Étape 3.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 20 = 0$

Étape 3.7

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 3.7.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 3.8

Définissez $x + 20$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $x + 20$ égal à $0$ .

$x + 20 = 0$

Étape 3.8.2

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 20$

Étape 3.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 10) (x + 20) = 0$ vraie.

$x = 10, - 20$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$ vrai.

$x = 10$