Pré-calcul Exemples

$\sec (\arcsin (x - 1))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (x - 1)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ . Ainsi, $\sec (\arcsin (x - 1))$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x - 1) (1 - (x - 1))}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{(x + 0) (1 - (x - 1))}}$

Étape 2.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - (x - 1))}}$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - x - - 1)}}$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - x + 1)}}$

Étape 2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ par $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Étape 4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ par $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Étape 4.2

Élevez $\sqrt{x (- x + 2)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Étape 4.3

Élevez $\sqrt{x (- x + 2)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} {\sqrt{x (- x + 2)}}^{1}}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}}$

Étape 4.6

Réécrivez ${\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}$ comme $x (- x + 2)$ .

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Étape 4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x (- x + 2)}$ comme ${(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{({(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{1}}$

Étape 4.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- x + 2)}$

Étape 5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) + 2)}$

Étape 6

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) - 1 (- 2))}$

Étape 7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x - 2))}$

Étape 8

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 8.1

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- 1 (x - 2))}$

Étape 8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (x - 2)}$