Pré-calcul Exemples

$\frac{x + 2}{x + 3} < \frac{x - 1}{x - 2}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x - 1}{x - 2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{x + 2}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{x - 1}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 3) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{x + 2}{x + 3}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{x - 1}{x - 2}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} < 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 2.5.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 + (- x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.6

Développez $(- x + 1) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 3) + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.7.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.7.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.7.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.7.2

Additionnez $- 3 x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.8

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{0 - 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.9

Soustrayez $4$ de $0$ .

$\frac{- 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.5.10

Additionnez $- 4$ et $3$ .

$\frac{- 2 x - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.9

Réécrivez $- (2 x + 1)$ comme $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 6

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - 3$

$x = 2$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{1}{2}, - 3, 2$

Étape 10

Déterminez le domaine de $- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 3) (x - 2) = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 10.2.2

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.2.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 10.2.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 10.2.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 10.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - 3, 2$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 6) + 2}{(- 6) + 3} < \frac{(- 6) - 1}{(- 6) - 2}$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $1.\overline{3}$ n’est pas inférieur au côté droit $0.875$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 2) + 2}{(- 2) + 3} < \frac{(- 2) - 1}{(- 2) - 2}$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $0.75$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 2}{(0) + 3} < \frac{(0) - 1}{(0) - 2}$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $0.\overline{6}$ n’est pas inférieur au côté droit $0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) + 2}{(4) + 3} < \frac{(4) - 1}{(4) - 2}$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $0.\overline{857142}$ est inférieur au côté droit $1.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Vrai

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Vrai

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ ou $x > 2$

Étape 14

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 3, - \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

Étape 15