Pré-calcul Exemples

$\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt{2 x}$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x} = 1 - \sqrt{2 x}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$x = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ .

$x = (1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = 1 (1 - \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$x = 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $- \sqrt{2 x}$ par $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 1 \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{2 x}$ par $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{2 x}$ à la puissance $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{2 x}$ à la puissance $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2 x}}^{2}$ comme $2 x$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 2 x$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $\sqrt{2 x}$ de $- \sqrt{2 x}$ .

$x = 1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x$

Étape 4

Résolvez $- 2 \sqrt{2 x}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$ .

$1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 2 \sqrt{2 x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x - 1$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sqrt{2 x} = x - 1 - 2 x$

Étape 4.2.3

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$- 2 \sqrt{2 x} = - x - 1$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 2 \sqrt{2 x})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

${(- 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.1.2.1

Factorisez le signe négatif.

${(- (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

${(- (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(- 2^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(- 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(- 2^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.6

Additionnez $2$ et $1$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $- 2^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$2^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.8

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 x^{1} = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.9

Simplifiez

$8 x = {(- x - 1)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(- x - 1)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(- x - 1)}^{2}$ comme $(- x - 1) (- x - 1)$ .

$8 x = (- x - 1) (- x - 1)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(- x - 1) (- x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 x = - x (- x - 1) - 1 (- x - 1)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x - 1)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$8 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$8 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 x = 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$8 x = x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 6.3.1.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 x = x^{2} + 1 x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Étape 6.3.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$8 x = x^{2} + x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1 (- x)$ .

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Étape 6.3.1.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 x = x^{2} + x + 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 6.3.1.3.1.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$8 x = x^{2} + x + x - 1 \cdot - 1$

Étape 6.3.1.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 x = x^{2} + x + x + 1$

Étape 6.3.1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$8 x = x^{2} + 2 x + 1$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 2 x + 1 = 8 x$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x + 1 - 8 x = 0$

Étape 7.2.2

Soustrayez $8 x$ de $2 x$ .

$x^{2} - 6 x + 1 = 0$

Étape 7.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.3

Soustrayez $4$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.5.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.5.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 7.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$ vrai.

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$x = 0.17157287 \dots$