Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 \log_{3} (x - 1) - 3$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) - 3$ est indéfinie.

$x = 1$

Étape 1.2

Ignorez le logarithme et étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 1.3

Il n’y a pas d’asymptote horizontale car $Q (x)$ est $1$ .

Aucune asymptote horizontale

Étape 1.4

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.5

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes verticales : $x = 1$

Aucune asymptote horizontale

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 2 \log_{3} ((2) - 1) - 3$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (2) = 2 \log_{3} (1) - 3$

Étape 2.2.1.2

La base logarithmique $3$ de $1$ est $0$ .

$f (2) = 2 \cdot 0 - 3$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (2) = 0 - 3$

Étape 2.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f (2) = - 3$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 2.3

Convertissez $- 3$ en décimale.

$y = - 3$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 4$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = 2 \log_{3} ((4) - 1) - 3$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f (4) = 2 \log_{3} (3) - 3$

Étape 3.2.1.2

La base logarithmique $3$ de $3$ est $1$ .

$f (4) = 2 \cdot 1 - 3$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (4) = 2 - 3$

Étape 3.2.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f (4) = - 1$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 3.3

Convertissez $- 1$ en décimale.

$y = - 1$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 10$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f (10) = 2 \log_{3} ((10) - 1) - 3$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Soustrayez $1$ de $10$ .

$f (10) = 2 \log_{3} (9) - 3$

Étape 4.2.1.2

La base logarithmique $3$ de $9$ est $2$ .

$f (10) = 2 \cdot 2 - 3$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (10) = 4 - 3$

Étape 4.2.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f (10) = 1$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 4.3

Convertissez $1$ en décimale.

$y = 1$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 1$ et les points $(2, - 3), (4, - 1), (10, 1)$ .

Asymptote verticale : $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 3 \\ 4 & - 1 \\ 10 & 1 \end{array}$

Étape 6