Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ comme une équation.

$y = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{4^{y}}{1 + 4^{y}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés par $1 + 4^{y}$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Étape 3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + 4^{y}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$4^{y} = x (1 + 4^{y})$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez $x (1 + 4^{y})$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4^{y} = x \cdot 1 + x \cdot 4^{y}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $4^{y}$ .

$4^{y} = x + 4^{y} \cdot x$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x + 4^{y} x$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $x \cdot 4^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$4^{y} - x \cdot 4^{y} = x$

Étape 3.4.3

Factorisez $4^{y}$ à partir de $4^{y} - x \cdot 4^{y}$ .

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Étape 3.4.3.1

Multipliez par $1$ .

$4^{y} \cdot 1 - x \cdot 4^{y} = x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $4^{y}$ à partir de $- x \cdot 4^{y}$ .

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x) = x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $4^{y}$ à partir de $4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x)$ .

$4^{y} (1 - x) = x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $4^{y} (1 - x) = x$ par $1 - x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $4^{y} (1 - x) = x$ par $1 - x$ .

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $4^{y}$ par $1$ .

$4^{y} = \frac{x}{1 - x}$

Étape 3.4.5

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Étape 3.4.6

Développez $\ln (4^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Étape 3.4.7

Divisez chaque terme dans $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ par $\ln (4)$ et simplifiez.

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Étape 3.4.7.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ par $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Étape 3.4.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.7.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Étape 3.4.7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{1 - (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})})}{\ln (4)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x}}{1 + 4^{x}} - \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Étape 5.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez $\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.3.3.1

Soustrayez $4^{x}$ de $4^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 0}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Étape 5.2.3.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Étape 5.2.4.2

Annulez le facteur commun de $1 + 4^{x}$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Étape 5.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

Étape 5.2.5

Développez $\ln (4^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Étape 5.2.6.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Étape 5.3.3.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}$

Étape 5.3.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + \frac{x}{1 - x}}$

Étape 5.3.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}}$

Étape 5.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x + x}{1 - x}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $\frac{1 - x + x}{1 - x}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.5.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 + 0}{1 - x}}$

Étape 5.3.4.5.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1}{1 - x}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Étape 5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$