Pré-calcul Exemples

e^{x} - 6 e^{- x} - 1 = 0

$e^{x} - 6 e^{- x} - 1 = 0$

Étape 1

Réécrivez

e^{- x}

$e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

e^{x} - 6 {(e^{x})}^{- 1} - 1 = 0

$e^{x} - 6 {(e^{x})}^{- 1} - 1 = 0$

Étape 2

Remplacez

e^{x}

$e^{x}$ par

u

$u$ .

u - 6 u^{- 1} - 1 = 0

$u - 6 u^{- 1} - 1 = 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

u - 6 \frac{1}{u} - 1 = 0

$u - 6 \frac{1}{u} - 1 = 0$

Étape 3.2

Associez

- 6

$- 6$ et

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ .

u + \frac{- 6}{u} - 1 = 0

$u + \frac{- 6}{u} - 1 = 0$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

u - \frac{6}{u} - 1 = 0

$u - \frac{6}{u} - 1 = 0$

u - \frac{6}{u} - 1 = 0

$u - \frac{6}{u} - 1 = 0$

Étape 4

Résolvez

u

$u$ .

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Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

1, u, 1, 1

$1, u, 1, 1$

Étape 4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

u

$u$

u

$u$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans

u - \frac{6}{u} - 1 = 0

$u - \frac{6}{u} - 1 = 0$ par

u

$u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans

u - \frac{6}{u} - 1 = 0

$u - \frac{6}{u} - 1 = 0$ par

u

$u$ .

u \cdot u - \frac{6}{u} u - u = 0 u

$u \cdot u - \frac{6}{u} u - u = 0 u$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez

u

$u$ par

u

$u$ .

u^{2} - \frac{6}{u} u - u = 0 u

$u^{2} - \frac{6}{u} u - u = 0 u$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de

u

$u$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans

- \frac{6}{u}

$- \frac{6}{u}$ dans le numérateur.

u^{2} + \frac{- 6}{u} u - u = 0 u

$u^{2} + \frac{- 6}{u} u - u = 0 u$

Étape 4.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

u^{2} + \frac{- 6}{u} u - u = 0 u

$u^{2} + \frac{- 6}{u} u - u = 0 u$

Étape 4.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

u^{2} - 6 - u = 0 u

$u^{2} - 6 - u = 0 u$

u^{2} - 6 - u = 0 u

$u^{2} - 6 - u = 0 u$

u^{2} - 6 - u = 0 u

$u^{2} - 6 - u = 0 u$

u^{2} - 6 - u = 0 u

$u^{2} - 6 - u = 0 u$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez

0

$0$ par

u

$u$ .

u^{2} - 6 - u = 0

$u^{2} - 6 - u = 0$

u^{2} - 6 - u = 0

$u^{2} - 6 - u = 0$

u^{2} - 6 - u = 0

$u^{2} - 6 - u = 0$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.3.1

Factorisez

u^{2} - 6 - u

$u^{2} - 6 - u$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.1.1

Étudiez la forme

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est

c

$c$ et dont la somme est

b

$b$ . Dans ce cas, dont le produit est

- 6

$- 6$ et dont la somme est

- 1

$- 1$ .

- 3, 2

$- 3, 2$

Étape 4.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

(u - 3) (u + 2) = 0

$(u - 3) (u + 2) = 0$

(u - 3) (u + 2) = 0

$(u - 3) (u + 2) = 0$

Étape 4.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

u - 3 = 0

$u - 3 = 0$

u + 2 = 0

$u + 2 = 0$

Étape 4.3.3

Définissez

u - 3

$u - 3$ égal à

0

$0$ et résolvez

u

$u$ .

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Étape 4.3.3.1

Définissez

u - 3

$u - 3$ égal à

0

$0$ .

u - 3 = 0

$u - 3 = 0$

Étape 4.3.3.2

Ajoutez

3

$3$ aux deux côtés de l’équation.

u = 3

$u = 3$

u = 3

$u = 3$

Étape 4.3.4

Définissez

u + 2

$u + 2$ égal à

0

$0$ et résolvez

u

$u$ .

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Étape 4.3.4.1

Définissez

u + 2

$u + 2$ égal à

0

$0$ .

u + 2 = 0

$u + 2 = 0$

Étape 4.3.4.2

Soustrayez

2

$2$ des deux côtés de l’équation.

u = - 2

$u = - 2$

u = - 2

$u = - 2$

Étape 4.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

(u - 3) (u + 2) = 0

$(u - 3) (u + 2) = 0$ vraie.

u = 3, - 2

$u = 3, - 2$

u = 3, - 2

$u = 3, - 2$

u = 3, - 2

$u = 3, - 2$

Étape 5

Remplacez

u

$u$ par

3

$3$ dans

u = e^{x}

$u = e^{x}$ .

3 = e^{x}

$3 = e^{x}$

Étape 6

Résolvez

3 = e^{x}

$3 = e^{x}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme

e^{x} = 3

$e^{x} = 3$ .

e^{x} = 3

$e^{x} = 3$

Étape 6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

\ln (e^{x}) = \ln (3)

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Étape 6.3

Développez le côté gauche.

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Étape 6.3.1

Développez

\ln (e^{x})

$\ln (e^{x})$ en déplaçant

x

$x$ hors du logarithme.

x \ln (e) = \ln (3)

$x \ln (e) = \ln (3)$

Étape 6.3.2

Le logarithme naturel de

e

$e$ est

1

$1$ .

x \cdot 1 = \ln (3)

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Étape 6.3.3

Multipliez

x

$x$ par

1

$1$ .

x = \ln (3)

$x = \ln (3)$

x = \ln (3)

$x = \ln (3)$

x = \ln (3)

$x = \ln (3)$

Étape 7

Remplacez

u

$u$ par

- 2

$- 2$ dans

u = e^{x}

$u = e^{x}$ .

- 2 = e^{x}

$- 2 = e^{x}$

Étape 8

Résolvez

- 2 = e^{x}

$- 2 = e^{x}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme

e^{x} = - 2

$e^{x} = - 2$ .

e^{x} = - 2

$e^{x} = - 2$

Étape 8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

\ln (e^{x}) = \ln (- 2)

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2)$

Étape 8.3

L’équation ne peut pas être résolue car

\ln (- 2)

$\ln (- 2)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 8.4

Il n’y a pas de solution pour

e^{x} = - 2

$e^{x} = - 2$

Aucune solution

Étape 9

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

x = \ln (3)

$x = \ln (3)$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

x = \ln (3)

$x = \ln (3)$

Forme décimale :

x = 1.09861228 \dots

$x = 1.09861228 \dots$