Pré-calcul Exemples

\frac{cos (x)}{1 - sin (x)} + \frac{1 - sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Step 1

Pour écrire

\frac{cos (x)}{1 - sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{cos (x)}{cos (x)}

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

\frac{cos (x)}{1 - sin (x)} \cdot \frac{cos (x)}{cos (x)} + \frac{1 - sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Step 2

Pour écrire

\frac{1 - sin (x)}{cos (x)}

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{1 - sin (x)}{1 - sin (x)}

$\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

\frac{cos (x)}{1 - sin (x)} \cdot \frac{cos (x)}{cos (x)} + \frac{1 - sin (x)}{cos (x)} \cdot \frac{1 - sin (x)}{1 - sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Step 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

(1 - sin (x)) cos (x)

$(1 - \sin (x)) \cos (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

1

$1$ .

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Multipliez

\frac{cos (x)}{1 - sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ par

\frac{cos (x)}{cos (x)}

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

\frac{cos (x) cos (x)}{(1 - sin (x)) cos (x)} + \frac{1 - sin (x)}{cos (x)} \cdot \frac{1 - sin (x)}{1 - sin (x)}

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} + \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Multipliez

\frac{1 - sin (x)}{cos (x)}

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ par

\frac{1 - sin (x)}{1 - sin (x)}

$\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

\frac{cos (x) cos (x)}{(1 - sin (x)) cos (x)} + \frac{(1 - sin (x)) (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Réorganisez les facteurs de

(1 - sin (x)) cos (x)

$(1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

\frac{cos (x) cos (x)}{cos (x) (1 - sin (x))} + \frac{(1 - sin (x)) (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{cos (x) cos (x)}{cos (x) (1 - sin (x))} + \frac{(1 - sin (x)) (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} + \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Step 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{cos (x) cos (x) + (1 - sin (x)) (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Step 5

Simplifiez le numérateur.

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Multipliez

cos (x) cos (x)

$\cos (x) \cos (x)$ .

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Élevez

cos (x)

$\cos (x)$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{{cos}^{1} (x) cos (x) + (1 - sin (x)) (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Élevez

cos (x)

$\cos (x)$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{{cos}^{1} (x) {cos}^{1} (x) + (1 - sin (x)) (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{{cos (x)}^{1 + 1} + (1 - sin (x)) (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + (1 - sin (x)) (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{{cos}^{2} (x) + (1 - sin (x)) (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Développez

(1 - sin (x)) (1 - sin (x))

$(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Appliquez la propriété distributive.

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 (1 - sin (x)) - sin (x) (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Appliquez la propriété distributive.

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- sin (x)) - sin (x) (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Appliquez la propriété distributive.

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- sin (x)) - sin (x) \cdot 1 - sin (x) (- sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- sin (x)) - sin (x) \cdot 1 - sin (x) (- sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez

1

$1$ par

1

$1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 + 1 (- sin (x)) - sin (x) \cdot 1 - sin (x) (- sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Multipliez

- sin (x)

$- \sin (x)$ par

1

$1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 - sin (x) - sin (x) \cdot 1 - sin (x) (- sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 - sin (x) - sin (x) - sin (x) (- sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Multipliez

- sin (x) (- sin (x))

$- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 - sin (x) - sin (x) + 1 sin (x) sin (x)}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Multipliez

sin (x)

$\sin (x)$ par

1

$1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 - sin (x) - sin (x) + sin (x) sin (x)}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Élevez

sin (x)

$\sin (x)$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 - sin (x) - sin (x) + {sin}^{1} (x) sin (x)}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Élevez

sin (x)

$\sin (x)$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 - sin (x) - sin (x) + {sin}^{1} (x) {sin}^{1} (x)}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 - sin (x) - sin (x) + {sin (x)}^{1 + 1}}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 - sin (x) - sin (x) + {sin}^{2} (x)}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 - sin (x) - sin (x) + {sin}^{2} (x)}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 - sin (x) - sin (x) + {sin}^{2} (x)}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Soustrayez

sin (x)

$\sin (x)$ de

- sin (x)

$- \sin (x)$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 - 2 sin (x) + {sin}^{2} (x)}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 - 2 sin (x) + {sin}^{2} (x)}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Réécrivez

{cos}^{2} (x) + 1 - 2 sin (x) + {sin}^{2} (x)

$\cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ en forme factorisée.

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Regroupez les termes.

\frac{{cos}^{2} (x) + {sin}^{2} (x) + 1 - 2 sin (x)}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Réorganisez les termes.

\frac{{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) + 1 - 2 sin (x)}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Appliquez l’identité pythagoricienne.

\frac{1 + 1 - 2 sin (x)}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{1 + 1 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\frac{2 - 2 sin (x)}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{2 - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 - 2 sin (x)

$2 - 2 \sin (x)$ .

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Factorisez

2

$2$ à partir de

2

$2$ .

\frac{2 (1) - 2 sin (x)}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{2 (1) - 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Factorisez

2

$2$ à partir de

- 2 sin (x)

$- 2 \sin (x)$ .

\frac{2 (1) + 2 (- sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{2 (1) + 2 (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 (1) + 2 (- sin (x))

$2 (1) + 2 (- \sin (x))$ .

\frac{2 (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{2 (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{2 (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

\frac{2 (1 - sin (x))}{cos (x) (1 - sin (x))}

$\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Step 6

Annulez le facteur commun de

1 - sin (x)

$1 - \sin (x)$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\cos (x)}$

Step 7

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Step 8

Convertissez de

$\frac{1}{\cos (x)}$ à

$\sec (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec (x)$

Step 9

Divisez

$2$ par

$1$ .

$2 \sec (x)$