Pré-calcul Exemples

$\sin (2 x) + \cos (x) = 0$

Step 1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

Step 2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{1} (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Step 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Step 4

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Step 5

Définissez $2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez $2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Résolvez $2 \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = - 1$

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Step 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Step 7

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$