Pré-calcul Exemples

sin (2 x) + cos (x) = 0

$\sin (2 x) + \cos (x) = 0$

Step 1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

2 sin (x) cos (x) + cos (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

Step 2

Factorisez

cos (x)

$\cos (x)$ à partir de

2 sin (x) cos (x) + cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez

cos (x)

$\cos (x)$ à partir de

2 sin (x) cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ .

cos (x) (2 sin (x)) + cos (x) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Élevez

cos (x)

$\cos (x)$ à la puissance

1

$1$ .

cos (x) (2 sin (x)) + cos (x) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Factorisez

cos (x)

$\cos (x)$ à partir de

{cos}^{1} (x)

$\cos^{1} (x)$ .

cos (x) (2 sin (x)) + cos (x) \cdot 1 = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

Factorisez

cos (x)

$\cos (x)$ à partir de

cos (x) (2 sin (x)) + cos (x) \cdot 1

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$ .

cos (x) (2 sin (x) + 1) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

cos (x) (2 sin (x) + 1) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Step 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

2 sin (x) + 1 = 0

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Step 4

Définissez

cos (x)

$\cos (x)$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez

cos (x)

$\cos (x)$ égal à

0

$0$ .

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

Résolvez

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ pour

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur du cosinus.

x = arccos (0)

$x = \arccos (0)$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

La valeur exacte de

arccos (0)

$\arccos (0)$ est

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

2 π

$2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifiez

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Pour écrire

2 π

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Associez

2 π

$2 π$ et

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Soustrayez

π

$π$ de

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Déterminez la période de

cos (x)

$\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Divisez

2 π

$2 π$ par

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

La période de la fonction

cos (x)

$\cos (x)$ est

2 π

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

2 π

$2 π$ radians dans les deux sens.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Step 5

Définissez

2 sin (x) + 1

$2 \sin (x) + 1$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez

2 sin (x) + 1

$2 \sin (x) + 1$ égal à

0

$0$ .

2 sin (x) + 1 = 0

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Résolvez

2 sin (x) + 1 = 0

$2 \sin (x) + 1 = 0$ pour

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Soustrayez

1

$1$ des deux côtés de l’équation.

2 sin (x) = - 1

$2 \sin (x) = - 1$

Divisez chaque terme dans

2 sin (x) = - 1

$2 \sin (x) = - 1$ par

2

$2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Divisez chaque terme dans

2 sin (x) = - 1

$2 \sin (x) = - 1$ par

2

$2$ .

\frac{2 sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divisez

$\sin (x)$ par

$1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

La valeur exacte de

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ est

$- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de

$2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à

$π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Soustrayez

$2 π$ de

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

L’angle résultant de

$\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à

$2 π$ et coterminal avec

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Déterminez la période de

$\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divisez

$2 π$ par

$1$ .

$2 π$

Ajoutez

$2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Ajoutez

$2 π$ à

$- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Pour écrire

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Associez

$2 π$ et

$\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez

$6$ par

$2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Soustrayez

$π$ de

$12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

La période de la fonction

$\sin (x)$ est

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Step 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Step 7

Consolidez

$\frac{π}{2} + 2 π n$ et

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en

$\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$