Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ , $[2, 4]$

Étape 1

Écrivez $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ comme une équation.

$y = x^{2} - \frac{1}{x}$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $x$ valeurs des deux points.

$\frac{f (4) - f (2)}{(4) - (2)}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = x^{2} - \frac{1}{x}$ pour $f (4)$ et $f (2)$ , en remplaçant $x$ dans la fonction avec la valeur $x$ correspondante.

$\frac{({(4)}^{2} - \frac{1}{4}) - ({(2)}^{2} - \frac{1}{2})}{(4) - (2)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $4$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{4 (4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 (4 - (2))}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (- \frac{1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Multipliez $4$ par $4^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $4$ par $4^{2}$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$\frac{4^{1} \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4^{1 + 2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4^{3} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.4

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.5

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{4 \cdot 2 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.7.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{8 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.7.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{64 - 1 + 4 (\frac{- 7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.8.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{64 - 1 + 2 (2) \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.8.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot 2 \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.8.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot - 7}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.9

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$\frac{64 - 1 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.10

Soustrayez $1$ de $64$ .

$\frac{63 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.4.11

Soustrayez $14$ de $63$ .

$\frac{49}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{49}{16 + 4 (- (2))}$

Étape 3.5.2

Multipliez $4 (- (2))$ .

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{49}{16 + 4 \cdot - 2}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{49}{16 - 8}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$\frac{49}{8}$