Pré-calcul Exemples

$f (x) = {(x - 1)}^{2}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {((x + h) - 1)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(x + h - 1)}^{2}$ comme $(x + h - 1) (x + h - 1)$ .

$f (x + h) = (x + h - 1) (x + h - 1)$

Étape 2.1.2.2

Développez $(x + h - 1) (x + h - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot - 1 + h x + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot - 1 + h x + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - 1 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - x + h x + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.4

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - x + h x + h^{2} + h \cdot - 1 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - x + h x + h^{2} - 1 \cdot h - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.6

Réécrivez $- 1 h$ comme $- h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - x + h x + h^{2} - h - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.7

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - x + h x + h^{2} - h - x - 1 h - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.8

Réécrivez $- 1 h$ comme $- h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - x + h x + h^{2} - h - x - h - 1 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.3.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - x + h x + h^{2} - h - x - h + 1$

Étape 2.1.2.4

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x - x + h^{2} - h - x - h + 1$

Étape 2.1.2.4.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x - x + h^{2} - h - x - h + 1$

Étape 2.1.2.5

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - h - 2 x - h + 1$

Étape 2.1.2.6

Soustrayez $h$ de $- h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 2 h - 2 x + 1$

Étape 2.1.2.7

La réponse finale est $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 2 h - 2 x + 1$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 2 h - 2 x + 1$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 2 h - 2 x + 1$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $2 h x$ et $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 2 h - 2 x + 1$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 2 h - 2 x + 1$

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 2 h - 2 x + 1$

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 2 h - 2 x + 1 - (x^{2} - 2 x + 1)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 2 h - 2 x + 1 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 2 h - 2 x + 1 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 2 h - 2 x + 1 - x^{2} + 2 x - 1}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 2 h - 2 x + 1 + 0 + 2 x - 1}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 2 h - 2 x + 1 + 2 x - 1}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 2 h + 0 + 1 - 1}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 2 h + 1 - 1}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 2 h + 0}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $h^{2} + 2 h x - 2 h$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 2 h}{h}$

Étape 4.1.9

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} + 2 h x - 2 h$ .

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Étape 4.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h x - 2 h}{h}$

Étape 4.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $2 h x$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) - 2 h}{h}$

Étape 4.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $- 2 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 2}{h}$

Étape 4.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $h (h) + h (2 x)$ .

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 2}{h}$

Étape 4.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $h (h + 2 x) + h \cdot - 2$ .

$\frac{h (h + 2 x - 2)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (h + 2 x - 2)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $h + 2 x - 2$ par $1$ .

$h + 2 x - 2$

Étape 4.2.2

Remettez dans l’ordre $h$ et $2 x$ .

$2 x + h - 2$

Étape 5