Pré-calcul Exemples

$f (x) = x + x^{4}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = (x + h) + {(x + h)}^{4}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = x + h + x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $x + h + x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$ .

$x + h + x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x + h + x^{4} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Étape 2.2.2

Déplacez $x^{2}$ .

$x + h + x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Étape 2.2.3

Déplacez $x$ .

$x + h + x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4}$

Étape 2.2.4

Déplacez $x$ .

$h + x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x$

Étape 2.2.5

Déplacez $h$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + h + x$

Étape 2.2.6

Déplacez $x^{4}$ .

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4} + h + x$

Étape 2.2.7

Déplacez $4 h x^{3}$ .

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

Étape 2.2.8

Déplacez $6 h^{2} x^{2}$ .

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

Étape 2.2.9

Remettez dans l’ordre $4 h^{3} x$ et $h^{4}$ .

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

$f (x) = x + x^{4}$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

$f (x) = x + x^{4}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x - (x + x^{4})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x - x - x^{4}}{h}$

Étape 4.1.2

Soustrayez $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h + x - x + 0}{h}$

Étape 4.1.3

Additionnez $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h + x - x$ et $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h + x - x}{h}$

Étape 4.1.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h + 0}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h$ et $0$ .

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h}{h}$

Étape 4.1.6

Factorisez $h$ à partir de $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{4}$ .

$\frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h}{h}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez $h$ à partir de $4 h^{3} x$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h}{h}$

Étape 4.1.6.3

Factorisez $h$ à partir de $6 h^{2} x^{2}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3} + h}{h}$

Étape 4.1.6.4

Factorisez $h$ à partir de $4 h x^{3}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h}{h}$

Étape 4.1.6.5

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h^{1}}{h}$

Étape 4.1.6.6

Factorisez $h$ à partir de $h^{1}$ .

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h \cdot 1}{h}$

Étape 4.1.6.7

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h \cdot 1}{h}$

Étape 4.1.6.8

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h \cdot 1}{h}$

Étape 4.1.6.9

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h \cdot 1}{h}$

Étape 4.1.6.10

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h \cdot 1$ .

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1$ par $1$ .

$h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $h^{2}$ .

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $h$ .

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 1$

Étape 4.2.2.3

Déplacez $h^{3}$ .

$4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3} + 1$

Étape 4.2.2.4

Déplacez $4 x h^{2}$ .

$6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3} + 1$

Étape 4.2.2.5

Remettez dans l’ordre $6 x^{2} h$ et $4 x^{3}$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3} + 1$

Étape 5