Pré-calcul Exemples

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$ , $[4, 9]$

Étape 1

Écrivez $g (t) = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$ comme une équation.

$y = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $t$ valeurs des deux points.

$\frac{f (9) - f (4)}{(9) - (4)}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$ pour $f (9)$ et $f (4)$ , en remplaçant $t$ dans la fonction avec la valeur $t$ correspondante.

$\frac{(\frac{9}{\sqrt{9 + {(9)}^{2}}}) - (\frac{4}{\sqrt{9 + {(4)}^{2}}})}{(9) - (4)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} - \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{9 - (4)}$ par $\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}} \cdot \frac{\frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} - \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{9 - (4)}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (\frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} - \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (9 - (4))}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{9 + 9^{2}}$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $\sqrt{9 + 9^{2}}$ à partir de $\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} (\sqrt{9 + 4^{2}}) \frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{9 + 4^{2}}$ .

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Étape 3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}$ dans le numérateur.

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \frac{- 4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $\sqrt{9 + 4^{2}}$ à partir de $\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 4^{2}} \sqrt{9 + 9^{2}} \frac{- 4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 4^{2}} \sqrt{9 + 9^{2}} \frac{- 4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.4.2

Additionnez $9$ et $16$ .

$\frac{\sqrt{25} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.4.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.4.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5 \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.4.5

Multipliez $5$ par $9$ .

$\frac{45 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.4.6

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{45 + \sqrt{9 + 81} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.4.7

Additionnez $9$ et $81$ .

$\frac{45 + \sqrt{90} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.4.8

Réécrivez $90$ comme $3^{2} \cdot 10$ .

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Étape 3.4.8.1

Factorisez $9$ à partir de $90$ .

$\frac{45 + \sqrt{9 (10)} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.4.8.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{45 + \sqrt{3^{2} \cdot 10} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.4.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{45 + 3 \sqrt{10} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.4.10

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{(9 + 9^{2}) (9 + 4^{2})} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.5.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{(9 + 81) (9 + 4^{2})} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.5.3

Additionnez $9$ et $81$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{90 (9 + 4^{2})} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.5.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{90 (9 + 16)} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.5.5

Additionnez $9$ et $16$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{90 \cdot 25} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.5.6

Multipliez $90$ par $25$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{2250} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.5.7

Réécrivez $2250$ comme $15^{2} \cdot 10$ .

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Étape 3.5.7.1

Factorisez $225$ à partir de $2250$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{225 (10)} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.5.7.2

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{15^{2} \cdot 10} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.5.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{15 \sqrt{10} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.5.9

Multipliez $9$ par $15$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

Étape 3.5.10

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{(9 + 9^{2}) (9 + 4^{2})} (- (4))}$

Étape 3.5.11

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{(9 + 81) (9 + 4^{2})} (- (4))}$

Étape 3.5.12

Additionnez $9$ et $81$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{90 (9 + 4^{2})} (- (4))}$

Étape 3.5.13

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{90 (9 + 16)} (- (4))}$

Étape 3.5.14

Additionnez $9$ et $16$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{90 \cdot 25} (- (4))}$

Étape 3.5.15

Multipliez $90$ par $25$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{2250} (- (4))}$

Étape 3.5.16

Réécrivez $2250$ comme $15^{2} \cdot 10$ .

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Étape 3.5.16.1

Factorisez $225$ à partir de $2250$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{225 (10)} (- (4))}$

Étape 3.5.16.2

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{15^{2} \cdot 10} (- (4))}$

Étape 3.5.17

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + 15 \sqrt{10} (- (4))}$

Étape 3.5.18

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + 15 \sqrt{10} \cdot - 4}$

Étape 3.5.19

Multipliez $- 4$ par $15$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} - 60 \sqrt{10}}$

Étape 3.5.20

Soustrayez $60 \sqrt{10}$ de $135 \sqrt{10}$ .

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{75 \sqrt{10}}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun à $45 - 12 \sqrt{10}$ et $75$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $45$ .

$\frac{3 (15) - 12 \sqrt{10}}{75 \sqrt{10}}$

Étape 3.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12 \sqrt{10}$ .

$\frac{3 (15) + 3 (- 4 \sqrt{10})}{75 \sqrt{10}}$

Étape 3.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (15) + 3 (- 4 \sqrt{10})$ .

$\frac{3 (15 - 4 \sqrt{10})}{75 \sqrt{10}}$

Étape 3.6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.4.1

Factorisez $3$ à partir de $75 \sqrt{10}$ .

$\frac{3 (15 - 4 \sqrt{10})}{3 (25 \sqrt{10})}$

Étape 3.6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (15 - 4 \sqrt{10})}{3 (25 \sqrt{10})}$

Étape 3.6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}}$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Étape 3.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 3.8.2

Déplacez $\sqrt{10}$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Étape 3.8.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}$

Étape 3.8.4

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}$

Étape 3.8.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 3.8.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 {\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 3.8.7

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 3.8.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.8.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.8.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.8.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.8.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.8.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{1}}$

Étape 3.8.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10}$

Étape 3.9

Multipliez $25$ par $10$ .

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{250}$

Étape 3.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} \sqrt{10}}{250}$

Étape 3.11

Multipliez $- 4 \sqrt{10} \sqrt{10}$ .

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Étape 3.11.1

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}{250}$

Étape 3.11.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}{250}$

Étape 3.11.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}{250}$

Étape 3.11.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 {\sqrt{10}}^{2}}{250}$

Étape 3.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.1

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 3.12.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{250}$

Étape 3.12.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{250}$

Étape 3.12.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{250}$

Étape 3.12.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.12.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{250}$

Étape 3.12.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{1}}{250}$

Étape 3.12.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10}{250}$

Étape 3.12.2

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$\frac{15 \sqrt{10} - 40}{250}$

Étape 3.13

Annulez le facteur commun à $15 \sqrt{10} - 40$ et $250$ .

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Étape 3.13.1

Factorisez $5$ à partir de $15 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (3 \sqrt{10}) - 40}{250}$

Étape 3.13.2

Factorisez $5$ à partir de $- 40$ .

$\frac{5 (3 \sqrt{10}) + 5 (- 8)}{250}$

Étape 3.13.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (3 \sqrt{10}) + 5 (- 8)$ .

$\frac{5 (3 \sqrt{10} - 8)}{250}$

Étape 3.13.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.13.4.1

Factorisez $5$ à partir de $250$ .

$\frac{5 (3 \sqrt{10} - 8)}{5 (50)}$

Étape 3.13.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (3 \sqrt{10} - 8)}{5 \cdot 50}$

Étape 3.13.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sqrt{10} - 8}{50}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 \sqrt{10} - 8}{50}$

Forme décimale :

$0.02973665 \dots$