Pré-calcul Exemples

$f (x) = e^{x - 1} + 3$ , $[1, 5]$

Étape 1

Écrivez $f (x) = e^{x - 1} + 3$ comme une équation.

$y = e^{x - 1} + 3$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $x$ valeurs des deux points.

$\frac{f (5) - f (1)}{(5) - (1)}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = e^{x - 1} + 3$ pour $f (5)$ et $f (1)$ , en remplaçant $x$ dans la fonction avec la valeur $x$ correspondante.

$\frac{(e^{(5) - 1} + 3) - (e^{(1) - 1} + 3)}{(5) - (1)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (e^{1 - 1} + 3)}{5 - (1)}$

Étape 3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (e^{0} + 3)}{5 - (1)}$

Étape 3.1.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (1 + 3)}{5 - (1)}$

Étape 3.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{e^{4} + 3 - 1 \cdot 4}{5 - (1)}$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{e^{4} + 3 - 4}{5 - (1)}$

Étape 3.1.5

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{e^{4} - 1}{5 - (1)}$

Étape 3.1.6

Réécrivez $e^{4} - 1$ en forme factorisée.

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Étape 3.1.6.1

Réécrivez $e^{4}$ comme ${(e^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{2} - 1}{5 - (1)}$

Étape 3.1.6.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{2} - 1^{2}}{5 - (1)}$

Étape 3.1.6.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{2}$ et $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{5 - (1)}$

Étape 3.1.6.4

Simplifiez

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Étape 3.1.6.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{5 - (1)}$

Étape 3.1.6.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e$ et $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{5 - (1)}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{5 - 1}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1$ de $5$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{4}$