Pré-calcul Exemples

$2 x^{3}$

Étape 1

Écrivez $2 x^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x^{3}$

Étape 2

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 3

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 3.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Étape 3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez

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Étape 3.1.2.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Étape 3.1.2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 6 (x h^{2}) + 2 h^{3}$

Étape 3.1.2.4

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Étape 3.1.2.5

La réponse finale est $2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$ .

$2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Étape 3.2.2

Déplacez $x$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3}$

Étape 3.2.3

Déplacez $2 x^{3}$ .

$6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3} + 2 x^{3}$

Étape 3.2.4

Déplacez $6 h x^{2}$ .

$6 h^{2} x + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Étape 3.2.5

Remettez dans l’ordre $6 h^{2} x$ et $2 h^{3}$ .

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Étape 3.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

Étape 4

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - (2 x^{3})}{h}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 0}{h}$

Étape 5.1.3

Additionnez $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Étape 5.1.4

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ .

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h^{3}$ .

$\frac{2 h \cdot h^{2} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Étape 5.1.4.2

Factorisez $2 h$ à partir de $6 h^{2} x$ .

$\frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 6 h x^{2}}{h}$

Étape 5.1.4.3

Factorisez $2 h$ à partir de $6 h x^{2}$ .

$\frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Étape 5.1.4.4

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x)$ .

$\frac{2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Étape 5.1.4.5

Factorisez $2 h$ à partir de $2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})$ .

$\frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Étape 5.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ par $1$ .

$2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 h^{2} + 2 (3 h x) + 2 (3 x^{2})$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 h^{2} + 6 (h x) + 2 (3 x^{2})$

Étape 5.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 h^{2} + 6 (h x) + 6 x^{2}$

Étape 5.4

Déplacez $h$ .

$2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2}$

Étape 5.5

Déplacez $2 h^{2}$ .

$6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2}$

Étape 5.6

Remettez dans l’ordre $6 x h$ et $6 x^{2}$ .

$6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2}$

Étape 6