Pré-calcul Exemples

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 1

Écrivez $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 3

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 3.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{f ((x + h) + h) - f (x + h)}{h}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1.1

Factorisez $f$ à partir de $f (x + h + h) - f (x + h)$ .

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Étape 3.1.2.1.1.1

Factorisez $f$ à partir de $- f (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h) + f (- 1 (x + h))}{h}$

Étape 3.1.2.1.1.2

Factorisez $f$ à partir de $f (x + h + h) + f (- 1 (x + h))$ .

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h - 1 (x + h))}{h}$

Étape 3.1.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h - 1 x - 1 h)}{h}$

Étape 3.1.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h - x - 1 h)}{h}$

Étape 3.1.2.1.4

Réécrivez $- 1 h$ comme $- h$ .

$f (x + h) = \frac{f (x + h + h - x - h)}{h}$

Étape 3.1.2.1.5

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (x + h) = \frac{f (h + h + 0 - h)}{h}$

Étape 3.1.2.1.6

Additionnez $h$ et $h$ .

$f (x + h) = \frac{f (2 h + 0 - h)}{h}$

Étape 3.1.2.1.7

Additionnez $2 h$ et $0$ .

$f (x + h) = \frac{f (2 h - h)}{h}$

Étape 3.1.2.1.8

Soustrayez $h$ de $2 h$ .

$f (x + h) = \frac{f h}{h}$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x + h) = \frac{f h}{h}$

Étape 3.1.2.2.2

Divisez $f$ par $1$ .

$f (x + h) = f$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $f$ .

$f$

Étape 3.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = f$

$f (x) = \frac{f x + f h - f (x)}{h}$

$f (x + h) = f$

$f (x) = \frac{f x + f h - f (x)}{h}$

Étape 4

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{f - (\frac{f x + f h - f (x)}{h})}{h}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Pour écrire $f$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{h}{h}$ .

$\frac{\frac{f h}{h} - \frac{f x + f h - f (x)}{h}}{h}$

Étape 5.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{f h - (f x + f h - f (x))}{h}}{h}$

Étape 5.1.3

Réécrivez $\frac{f h - (f x + f h - f (x))}{h}$ en forme factorisée.

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{f h - (f x) - (f h) - - f (x)}{h}}{h}$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $- - f (x)$ .

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Étape 5.1.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{f h - f x - f h + 1 f (x)}{h}}{h}$

Étape 5.1.3.2.2

Multipliez $f (x)$ par $1$ .

$\frac{\frac{f h - f x - f h + f (x)}{h}}{h}$

Étape 5.1.3.3

Soustrayez $f h$ de $f h$ .

$\frac{\frac{- f x + 0 + f (x)}{h}}{h}$

Étape 5.1.3.4

Additionnez $- f x$ et $0$ .

$\frac{\frac{- f x + f (x)}{h}}{h}$

Étape 5.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{- f x + f (x)}{h} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{- f x + f (x)}{h} \cdot \frac{1}{h}$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{- f x + f (x)}{h}$ par $\frac{1}{h}$ .

$\frac{- f x + f (x)}{h \cdot h}$

Étape 5.3.2

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$\frac{- f x + f (x)}{h^{1} h}$

Étape 5.3.3

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$\frac{- f x + f (x)}{h^{1} h^{1}}$

Étape 5.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- f x + f (x)}{h^{1 + 1}}$

Étape 5.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- f x + f (x)}{h^{2}}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- f x$ .

$\frac{- (f x) + f (x)}{h^{2}}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $f (x)$ .

$\frac{- (f x) - 1 (- f (x))}{h^{2}}$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (f x) - 1 (- f (x))$ .

$\frac{- (f x - f (x))}{h^{2}}$

Étape 5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.7.1

Réécrivez $- (f x - f (x))$ comme $- 1 (f x - f (x))$ .

$\frac{- 1 (f x - f (x))}{h^{2}}$

Étape 5.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{f x - f (x)}{h^{2}}$

Étape 6