Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x^{- \frac{14}{5}}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{- \frac{14}{5}}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (x + h) = 2 (\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}})$

Étape 2.1.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ .

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ .

$\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

$f (x) = \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}$

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

$f (x) = \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}} - (\frac{2}{x^{\frac{14}{5}}})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}}}$ .

$\frac{\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}}} - \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ .

$\frac{\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}}} - \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x + h)}^{\frac{14}{5}} x^{\frac{14}{5}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ par $\frac{x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}}}$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}} x^{\frac{14}{5}}} - \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}$ par $\frac{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}} x^{\frac{14}{5}}} - \frac{2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de ${(x + h)}^{\frac{14}{5}} x^{\frac{14}{5}}$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}} - \frac{2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{14}{5}} - 2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

Étape 4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{14}{5}} - 2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{14}{5}}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{14}{5}}) - 2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{14}{5}}) + 2 (- {(x + h)}^{\frac{14}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

Étape 4.1.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{\frac{14}{5}}) + 2 (- {(x + h)}^{\frac{14}{5}})$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{14}{5}} - {(x + h)}^{\frac{14}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Réécrivez $x^{\frac{14}{5}}$ comme ${(x^{\frac{7}{5}})}^{2}$ .

$\frac{\frac{2 ({(x^{\frac{7}{5}})}^{2} - {(x + h)}^{\frac{14}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Réécrivez ${(x + h)}^{\frac{14}{5}}$ comme ${({(x + h)}^{\frac{7}{5}})}^{2}$ .

$\frac{\frac{2 ({(x^{\frac{7}{5}})}^{2} - {({(x + h)}^{\frac{7}{5}})}^{2})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{\frac{7}{5}}$ et $b = {(x + h)}^{\frac{7}{5}}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Associez.

$\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) \cdot 1}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}} h}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}} h}$

Étape 4.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}} h}$ .

$\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{h x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

Étape 5