Pré-calcul Exemples

$f (x) = {(x - 3)}^{2}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {((x + h) - 3)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(x + h - 3)}^{2}$ comme $(x + h - 3) (x + h - 3)$ .

$f (x + h) = (x + h - 3) (x + h - 3)$

Étape 2.1.2.2

Développez $(x + h - 3) (x + h - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot - 3 + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot - 3 + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3$

Étape 2.1.2.3.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - 3 x + h x + h^{2} + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3$

Étape 2.1.2.3.4

Déplacez $- 3$ à gauche de $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - 3 x + h x + h^{2} - 3 \cdot h - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3$

Étape 2.1.2.3.5

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h - 3 x + h x + h^{2} - 3 h - 3 x - 3 h + 9$

Étape 2.1.2.4

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x - 3 x + h^{2} - 3 h - 3 x - 3 h + 9$

Étape 2.1.2.4.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x - 3 x + h^{2} - 3 h - 3 x - 3 h + 9$

Étape 2.1.2.5

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3 h - 6 x - 3 h + 9$

Étape 2.1.2.6

Soustrayez $3 h$ de $- 3 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9$

Étape 2.1.2.7

La réponse finale est $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 6 h - 6 x + 9$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $2 h x$ et $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 6 h - 6 x + 9$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 6 h - 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} - 6 x + 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 6 h - 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} - 6 x + 9$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 6 h - 6 x + 9 - (x^{2} - 6 x + 9)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 6 h - 6 x + 9 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 6 h - 6 x + 9 - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 6 h - 6 x + 9 - x^{2} + 6 x - 9}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 6 h - 6 x + 9 + 0 + 6 x - 9}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 6 h - 6 x + 9 + 6 x - 9}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- 6 x$ et $6 x$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 6 h + 9 - 9}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 6 h + 0}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $h^{2} + 2 h x - 6 h$ et $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 6 h}{h}$

Étape 4.1.9

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} + 2 h x - 6 h$ .

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Étape 4.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h x - 6 h}{h}$

Étape 4.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $2 h x$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) - 6 h}{h}$

Étape 4.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $- 6 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 6}{h}$

Étape 4.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $h (h) + h (2 x)$ .

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 6}{h}$

Étape 4.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $h (h + 2 x) + h \cdot - 6$ .

$\frac{h (h + 2 x - 6)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (h + 2 x - 6)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $h + 2 x - 6$ par $1$ .

$h + 2 x - 6$

Étape 4.2.2

Remettez dans l’ordre $h$ et $2 x$ .

$2 x + h - 6$

Étape 5