Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

Étape 2.1.2

La réponse finale est $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} - (\frac{3}{x^{3}})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{3}{x^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x + h)}^{3} x^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ par $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{3}{x^{3}}$ par $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de ${(x + h)}^{3} x^{3}$ .

$\frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{3}) - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 {(x + h)}^{3}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})$ .

$\frac{\frac{3 (x^{3} - {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = x + h$ .

$\frac{\frac{3 ((x - (x + h)) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Simplifiez

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Étape 4.1.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 ((x - x - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{3 ((0 - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.3

Soustrayez $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x \cdot x + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.5

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.6

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + (x + h) (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.7

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x (x + h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x \cdot x + x (h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.5.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.3.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.8.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.8.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 4.1.5.3.8.2.1

Remettez dans l’ordre $h$ et $x$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.8.2.2

Additionnez $x h$ et $x h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.9

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (- h (2 x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.10

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + x h + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.3.11

Additionnez $x h$ et $2 x h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Associez les exposants.

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Étape 4.1.5.4.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{\frac{- (3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.5.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 (h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})$ .

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

Étape 5