Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ for $3 \leq x \leq 6$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ comme une équation.

$y = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $x$ valeurs des deux points.

$\frac{f (6) - f (3)}{(6) - (3)}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ pour $f (6)$ et $f (3)$ , en remplaçant $x$ dans la fonction avec la valeur $x$ correspondante.

$\frac{(\frac{1}{6} - {(6)}^{2} - 2) - (\frac{1}{3} - {(3)}^{2} - 2)}{(6) - (3)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $6$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2)}{6 - (3)}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2)}{6 - (3)}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{6 (\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 (6 - (3))}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (\frac{1}{6}) + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (\frac{1}{6}) + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Multipliez $6$ par $6^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.1

Déplacez $6^{2}$ .

$\frac{1 + 6^{2} \cdot 6 \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $6^{2}$ par $6$ .

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Étape 3.4.1.2.1

Élevez $6$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + 6^{2} \cdot 6^{1} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + 6^{2 + 1} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1 + 6^{3} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{1 + 216 \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.3

Multipliez $216$ par $- 1$ .

$\frac{1 - 216 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.4

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.5.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 1 \cdot 9 - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.5.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 9 - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.6

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.4.6.1

Écrivez $- 9$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9}{1} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.6.2

Multipliez $\frac{- 9}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{3}{3} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.6.3

Multipliez $\frac{- 9}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.6.4

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.6.5

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.6.6

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 9 \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.8.1

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 27 - 2 \cdot 3}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.8.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 27 - 6}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.9

Soustrayez $27$ de $1$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{- 26 - 6}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.10

Soustrayez $6$ de $- 26$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{- 32}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.11

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.11.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{- 32}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (\frac{32}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.11.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 3 (2) \frac{32}{3}}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.11.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - 216 - 12 + 3 \cdot 2 \frac{32}{3}}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.11.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 216 - 12 + 2 \cdot 32}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.12

Multipliez $2$ par $32$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.13

Soustrayez $216$ de $1$ .

$\frac{- 215 - 12 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.14

Soustrayez $12$ de $- 215$ .

$\frac{- 227 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.4.15

Additionnez $- 227$ et $64$ .

$\frac{- 163}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{- 163}{36 + 6 (- (3))}$

Étape 3.5.2

Multipliez $6 (- (3))$ .

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 163}{36 + 6 \cdot - 3}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$\frac{- 163}{36 - 18}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $18$ de $36$ .

$\frac{- 163}{18}$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{163}{18}$