Pré-calcul Exemples

$d (t) = \frac{100 t}{2 t + 15}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = t + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $t$ par $t + h$ dans l’expression.

$d (t + h) = \frac{100 (t + h)}{2 (t + h) + 15}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$d (t + h) = \frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$ .

$\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$d (t + h) = \frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$

$d (t) = \frac{100 t}{2 t + 15}$

$d (t + h) = \frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$

$d (t) = \frac{100 t}{2 t + 15}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{d (t + h) - d t}{h} = \frac{\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15} - (\frac{100 t}{2 t + 15})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 t + 15}{2 t + 15}$ .

$\frac{\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15} \cdot \frac{2 t + 15}{2 t + 15} - \frac{100 t}{2 t + 15}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{100 t}{2 t + 15}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 t + 2 h + 15}{2 t + 2 h + 15}$ .

$\frac{\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15} \cdot \frac{2 t + 15}{2 t + 15} - \frac{100 t}{2 t + 15} \cdot \frac{2 t + 2 h + 15}{2 t + 2 h + 15}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 t + 2 h + 15) (2 t + 15)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$ par $\frac{2 t + 15}{2 t + 15}$ .

$\frac{\frac{100 (t + h) (2 t + 15)}{(2 t + 2 h + 15) (2 t + 15)} - \frac{100 t}{2 t + 15} \cdot \frac{2 t + 2 h + 15}{2 t + 2 h + 15}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{100 t}{2 t + 15}$ par $\frac{2 t + 2 h + 15}{2 t + 2 h + 15}$ .

$\frac{\frac{100 (t + h) (2 t + 15)}{(2 t + 2 h + 15) (2 t + 15)} - \frac{100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(2 t + 2 h + 15) (2 t + 15)$ .

$\frac{\frac{100 (t + h) (2 t + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)} - \frac{100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{100 (t + h) (2 t + 15) - 100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{100 (t + h) (2 t + 15) - 100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $100$ à partir de $100 (t + h) (2 t + 15) - 100 t (2 t + 2 h + 15)$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Factorisez $100$ à partir de $100 (t + h) (2 t + 15)$ .

$\frac{\frac{100 ((t + h) (2 t + 15)) - 100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez $100$ à partir de $- 100 t (2 t + 2 h + 15)$ .

$\frac{\frac{100 ((t + h) (2 t + 15)) + 100 (- t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.3

Factorisez $100$ à partir de $100 ((t + h) (2 t + 15)) + 100 (- t (2 t + 2 h + 15))$ .

$\frac{\frac{100 ((t + h) (2 t + 15) - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Développez $(t + h) (2 t + 15)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{100 (t (2 t + 15) + h (2 t + 15) - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{100 (t (2 t) + t \cdot 15 + h (2 t + 15) - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{100 (t (2 t) + t \cdot 15 + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{100 (2 t \cdot t + t \cdot 15 + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.2

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.3.2.1

Déplacez $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 (t \cdot t) + t \cdot 15 + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.2.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + t \cdot 15 + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.3

Déplacez $15$ à gauche de $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 \cdot t + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.5

Déplacez $15$ à gauche de $h$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - t (2 t) - t (2 h) - t \cdot 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 t \cdot t - t (2 h) - t \cdot 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 t \cdot t - 1 \cdot 2 t h - t \cdot 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.3

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 t \cdot t - 1 \cdot 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.6.1

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.6.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 (t \cdot t) - 1 \cdot 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 2 t^{2} - 1 \cdot 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 2 t^{2} - 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Soustrayez $2 t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{\frac{100 (15 t + 2 h t + 15 h + 0 - 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Additionnez $15 t$ et $0$ .

$\frac{\frac{100 (15 t + 2 h t + 15 h - 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Soustrayez $15 t$ de $15 t$ .

$\frac{\frac{100 (2 h t + 15 h - 2 t h + 0)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Additionnez $2 h t + 15 h - 2 t h$ et $0$ .

$\frac{\frac{100 (2 h t + 15 h - 2 t h)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Soustrayez $2 t h$ de $2 h t$ .

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Étape 4.1.5.11.1

Déplacez $h$ .

$\frac{\frac{100 (15 h + 2 t h - 2 t h)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.11.2

Soustrayez $2 t h$ de $2 t h$ .

$\frac{\frac{100 (15 h + 0)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.12

Additionnez $15 h$ et $0$ .

$\frac{\frac{100 \cdot 15 h}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.1.5.13

Multipliez $100$ par $15$ .

$\frac{\frac{1500 h}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1500 h}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $h$ à partir de $1500 h$ .

$\frac{h \cdot 1500}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot 1500}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1500}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}$

Étape 5